Welchen Winkel schließen die Vektoren miteinander ein? ......

Question

(a) Welchen Winkel schließen die Vektoren \( \begin{pmatrix} 3\\4\\2 \end{pmatrix} \)  und \( \begin{pmatrix} -1\\2\\3 \end{pmatrix} \)  miteinander ein?

(b) Welchen Winkel schließen Flächen- und Raumdiagonalen eines Quaders ein, wenn die Seitenlängen ein Verhältnis von 1:2:3 aufweisen?

Dies ist ein typische Klausur Aufgabe und brauche ein Rechenbeispiel wie ich es lösen kann.

Answer 1

a)

es gilt \(\cos(\varphi)=\frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}\) Demnach:$$\varphi=\arccos\left(\frac{\begin{pmatrix} 3\\4\\2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1\\2\\3 \end{pmatrix}}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}\cdot \sqrt{(-1)^2+2^2+3^2}}\right)$$ Oben Skalarprodukt und unten einfach berechnen.

b)

Mit Skizze geht das mit Elementargeometrie.

Du hast ein rechtw. Dreieck mit a=3 und b=√(2^2+1^2)=√3

Winkel der Raumdiagonale:

tan(α)=3/√3 → α=60°

Comments

b)

Du hast ein rechtw. Dreieck mit a=3 und b=√(2^2+1^2)=√3

Winkel der Raumdiagonale:

tan(α)=3/√3 → α=60°

Answer 2

\(\vec{a}:=\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 2\end{pmatrix} ,\: \vec{b}:=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\)

Für den Winkel zwi. den beiden Vektoren gilt mit dem Skalarprodukt: \(\cos \varphi = \dfrac{\vec{a}\circ \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} \Leftrightarrow \varphi=\arccos\left( \dfrac{11}{\sqrt{406}}\right) \approx 56.9°\)

Answer 3

u =\( \begin{pmatrix} 3\\4\\2 \end{pmatrix} \)

v = \( \begin{pmatrix} -1\\2\\3 \end{pmatrix} \)

cos(θ) = \( \frac{u * v}{|u| * |v| } \)

cos(θ) = \( \frac{3*(-1)+4*2+2*3}{\sqrt{3²+4²+2²} *\sqrt{-1²+2²+3²}} \)

cos(θ) = \( \frac{11}{2 * \sqrt{87}} \) | arccos

θ ≈ 53,87°

⇒ θ' = 360° -53,87° = 306,13°

Ich hoffe ich habe mich  verrechnet :-)