Extremwertaufgabe, Flächeninhalte

Question

Aufgabe:

Im Bild 74/2 sind der Graph der Funktion f: x ↦ x³ für 0≤x≤1 und eine Parallele zur x-Achse durch einen Punkt R(k|k³) des Graphen gezeichnet.

a) Wie ist k zu wählen, damit dir Summe der Flächeninhalte der Teilflächen A und B ein Extremum annimmt. Ist dieses dann ein Maximum oder ein Minimum?

b) Wie muss man k wählen, damit die Teilflächen A und B gleich groß sind?

c) Wie ist k zu wählen, damit die Gerade x=k die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [0;1] halbiert (siehe Bild 74/3)?

Problem/Ansatz: Zunächst habe ich ein bisschen Probleme mit der Funktion, da wir diese Schreibweise nicht besprochen haben. Extremwertaufgaben sind mir zwar vom Prinzip klar, aber leider fehlt mir hier einfach der Ansatz (sprich Extremal-, Nebenbedingung und Zielfunktion). Bei der b) und c) bin ich mir zudem nicht ganz sicher wie ich dann weitermachen würde, daher würde ich mich über gemeinsam erarbeitete vollständige Lösungswege sehr freuen.

Answer 1

Es sind  ja wohl A iund B die Flächen zwischen Funktionsgraph und

der Geraden mit y=k³  und zwar bei A oberhalb der Geraden

und bei B unterhalb. Diese Flächen berechnest du mit

den Integralen

A = ∫ von 0 bis k über (k³ - x³) dx =   3*k⁴/ 4

B =  ∫ von k bis 1 über (x³ - k³ ) dx =   3*k⁴/ 4  + 1/4  - k³

Die Summe ist also s(x) =  3*k⁴/ 2  + 1/4  - k³

mit s ' (x) = 6k³ - 3k² und das ist im

Inneren des Intervalls nur 0 für k=1/2.

Wegen s ' ' (x) = 18k² - 6k ist s ' ' (1/2) = 3/2 > 0

also ist da ein Minimum.

Für b) einfach nur A=B setzen gibt k = 0,5*3.Wurzel(2).

c) einfach die entsprechenden Integrale gleichsetzen.

Gibt für den betrachteten Bereich 0,5*4.Wurzel(8).

Beide Teile sind dann 1/8.

Kannst auch das ganze Stück nehmen ( ist 1/4) und

dann den Ansatz

= ∫ von 0 bis k über  x³    dx =   1/ 8

Comments

Erst einmal vielen Dank dir für die ausführliche Antwort. Ich hab trotzdem noch ein paar Fragen und zwar zunöchst zur a: die korrekte Stammfunktion wäre doch (3/4)k⁴-(3/4)x⁴). Mir ist zwar klar wie ich Integrale berechne aber hier verstehe ich es nicht so ganz, vielleicht hätte jemand  Rechenwege dazu, da ich es so partout etwas schwierig finde

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Und liegen nicht beide Teilflächen unterhalb der Gerade?

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Aus deiner Zeichnung ist (für mich) nicht ersichtlich, welche Flächen mit A und B gemeint sind. Welche Farben sind es?

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Achso doch mathef hatte Recht. Rot ist Fläche A und Lila ist Fläche B.

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Nein doch andersrum, A liegt unter uns B oberhalb der Geraden aber wie wirkt sich das auf die Integralrechnung aus? Help

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also grün und blau?

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Rot und lila oder blau ich weiß nicht was es ist, in jedem Fall ist die Fläche B die oberste rechts

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Hab meinen Rechenfehler aber auch gefunden, hatte die falsche Stammfunktion. Aber vielleicht könnte mir jemand sagen, ob das was matheef geschrieben hat bzgl der Funktionsgleichungen unter dem Integral noch stimmt, wenn A unter und B über der Gerade liegt

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Und eine weitere Frage: ich habe als mögliche Extremstelle bei der a außerdem k=0 rausgefunden, hab ich mich vertan oder wieso stand das bei dir @mathef nicht mit drin?

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Und bei der c bin ich mir noch nicht hundertprozentig sicher was zu tun ist, vielleicht könnte mir da auch nochmal jemand helfen, das wäre super nett.

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Habe jetzt bei derc einfsch mal ausprobiert und das Integral von 0 bis k über x³ dx gleich dem Integral von k bis 1 über x³ dx gesetzt. Raus kam die Vierte und die Minus vierte Wurzel aus 1/2 für k. Ich weiß nicht ob und wenn ja wo mein Fehler liegt, vielleicht könnte mir da nochmal jemand helfen

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Alternativ könnte man auch von 0 bis 1 durchintegrieren aber ich bin mir nicht sicher ob das hier funktioniert.

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vierte Wurzel aus 1/2  und  0,5*4.Wurzel(8) ist das Gleiche.

Der negative Wert entfällt, da er nicht im betrachteten

Bereich liegt.