Komplexe Zahlen: i^z=1.

Question

Aufgabe:

i^z=1

Ansatz: Man wendet zuerst den natürlichen komplexen Logarithmus an und erhält schließlich:

exp(a*i*π/2)*exp(-b*π/2)=1 mit z=a+i*b

Aber weiter komme ich nicht.

Comments

Wie genau kommst du auf den Ansatz?

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 So komme ich auf meinen Ansatz :D

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Der Ansatz ist auch möglich.

Der erste Faktor entspricht der Phase, der zweite dem Betrag. Da der Betrag von 1 =1 ist, muss b=0 sein.

1 hat die Phase 0+2kpi, k in Z (im einfachsten Fall nimmst du k=0)

Also muss a*pi/2=2kpi sein.

Demzufolge ist

a=4k wie in meiner Antwort.

Answer 1

warum logarithmieren?

Das erste was man bei komplexen Zahlen lernt, ist i^2=-1. dann ist man aber auch schon bei i^4=1

Das ganze wiederholt sich periodisch,

---> z=4k , k ∈ Z

Comments

Ich habe die Lösung gegeben aber keinen Rechenweg. DAs Ergebnis lautet z=0.

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Das entspricht meiner Lösung für k=0.

Das ist auch die einfachste Lösung, da z^0=1 für alle z ungleich 0 gilt.

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Okay danke. Ist nicht sowieso jede Zahl hoch null gleich eins?

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Ja, siehe meinen vorherigen Kommentar.