Zeigen Sie, dass f mit Bruch in (0,0) nicht stetig ist:

Question

Bitte helfen Sie mir mit dieser Aufgabe.
Vielen Dank!!
f: R² -> R gegeben durch
f(x,y) = { \( \frac{xy^3}{x^2 + y^6} \) , (x,y) ander (0,0)  and 0 , (x,y) = (0,0)

Answer 1

lim y--->0 f(y^3 , y)

=lim y--->0 y^6/(y^6+y^6)

=lim y--->0 1/2=1/2≠0

Die Funktion ist in (0,0) unstetig.

Comments

Kannst du mal bitte erläutern, was du da tust?

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Folgenkriterium für Stetigkeit.

Wähle als Folge p_y=(y^3 , y)

Dann ist lim y--->0 p_y =(0,0)

Wäre die Funktion f stetig in (0,0), so müsste lim y--->0 f(p_y)=f(0,0) sein.

Dies ist nach der obigen Rechnung nicht der Fall.

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Ach so, danke für die Erklärungen.

Ich war eher auf  \(\infty\) oder  \(-\infty\) aus, was man bei Annäherung mit x=y bzw. x=-y erhält.

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Auf dem Pfad x=y erhielt ich f(x,x)=x^4/(x^2+x^6)=x^2/(1+x^4) und das strebt gegen 0. Daher habe ich einen anderen Pfad gewählt.

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Da hast du wohl recht.

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Mit gleichem Funktion , wie kann man es beweisen ? 
Zeigen Sie, dass f auf jeder Gerade durch (0 ,0 ) stetig ist. 
Vielen dank

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Berechne f(x,mx) und lasse x gegen 0 streben. Ich habe das oben in meinem Kommentar bereits für m=1 demonstriert.

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vielen Dank für Ihre Antworte
warum nehmen wir nicht f(my,y) ?

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Das ist auch möglich.

Answer 2

Schreibe f(x,y) in Polarkoordinaten und lasse den Betrag gegen 0 gehen.