Aufgabe:
$$\begin{array}{l}{ { Sei } \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \text { eine absolut konvergente Reine. Zeigen oder widerlegen Sie: Es }} \\ {\text { gibt ein } q<1 \text { und ein } n_{0} \in \mathbb{N}, \text { sodass }} \\ {\quad \frac{\left|a_{k+1}\right|}{\left|a_{k}\right|} \leq q} \\ {\text { für alle } k \geq n_{0} .}\end{array}$$
Problem/Ansatz:
Ich denke es ist klar, dass die Aufgabe auf das Quotientenkriterium abspielt. Mein Gedankengang bisher:
Aus der absoluten Konvergenz folgt, dass auch $$\sum_{k=0}^{\infty} |a_{k}|$$ konvergiert. Da es sich bei ak um eine Nullfolge handeln muss, da sonst die Reihe nicht konvergent sein kann, folgt daraus:
$$\left|a_{k+1}\right|<\left|a_{k}\right|$$ Außerdem existiert ein Punkt, ab dem ak+1/ak < 1 seien müssen, dies folgt aus der Tatsache, dass ak eine Nullfolge ist. Dieser Punkt ist n0. Somit gilt die Aussage als bewiesen (unter der Annahme, dass ak != 0 ist)
Ist das so vom Ansatz und der Formulierung her korrekt? Und würde dies als Beweis ausreichen?
