Rechenschritte erläutern und fehlende Rechenschritte ergänzen.

Question

Aufgabe: f(x)=1/(x+1)^2 x≠-1

(1)A(z)=Integral von 0 bis z f(x)dx

(2) A(z) = Integral von 0 bis z 1/(x+1)^2dx= -1/z+1 +1

(3)lim A(z)=1

Komme nicht weiter damit...

Answer 1

Was verstehst du denn genau nicht?

f(x) = 1/(x + 1)^2 = (x + 1)^(-2)

F(x) = -(x + 1)^(-1) = -1/(x + 1)

∫(0 bis z) f(x) dx = F(z) - F(0) = (-1/(z + 1)) - (-1/(0 + 1)) = 1 - 1/(z + 1)

lim (z --> ∞) 1 - 1/(z + 1) = 1 - 0 = 1

Answer 2

\(\begin{aligned} A(z) & =\int_{0}^{z}\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}}\text{d}x &  & \text{laut Definition }A(z)\\ & =\int_{0}^{z}\left(x+1\right)^{-2}\text{d}x &  & \text{laut Definition negative Exponenten}\\ & =\int_{1}^{z+1}w^{-2}\text{d}w &  & \text{durch Substitution }w=x+1\\ & =\left[-w^{-1}\right]_{1}^{z+1} &  & \text{laut Fundamentalsatz der Analysis}\\ & =\left[-\frac{1}{w}\right]_{1}^{z+1} &  & \text{laut Definition negative Exponenten}\\ & =\left(-\frac{1}{z+1}\right)-\left(-1\right) &  & \text{laut Definition } \left[\dots\right]_{\dots}^{\dots}\\ & =-\frac{1}{z+1}+1 &  & \text{wegen Rechenregeln für negative Zahlen} \end{aligned}\)

Aus den Axiomen für angeordnete Körper folgt \(\lim_{z\to\infty}\frac{1}{z+1} = 0\).

Wegen Rechenregeln für Grenzwerte ist dann \(\lim_{z\to\infty}\left(\frac{1}{z+1}+1\right) = 1\) und somit

        \(\lim_{z\to\infty}A(z) = 1\).

Comments

Vielen Dank fürs beantworten aber wieso ändern sich a und b im dritten rechenschritt ... Von 0 bis z zu 1bis z+1???

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Das ändert sich ,weil auch nach der Substitution die gleichen werte raus kommen müssen.

Beispiel:

A(0)= \( \frac{1}{(0+1^{2})} \)= 1

Und in der späteren Darstellung:

A(1)= \( w^{-2} \)= \( \frac{1}{w^{2}} \)=\( \frac{1}{1^{2}} \)=1

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wieso ändern sich a und b im dritten rechenschritt ... Von 0 bis z zu 1bis z+1???

Integration durch Substitution:

        \(\int_{a}^{b} f(w(x)) \cdot w'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{w(a)}^{w(b)} f(w)\,\mathrm{d}w\).

In deinem Fall ist

        \(w(x) = x+1\)

und

        \(f(w) = w^{-2}\).

Der Faktor \(w'(x)\) ist irrelevant wegen \(w'(x) = 1\).