Konvergenz und Divergenz

Question

Aufgabe:

∝

∑ (-1)^k*sin(√k)/((√k)^3)

K=1

Answer 1

das Wurzelkriterium

\( \sqrt{|a_k|} = \sqrt{\frac{\left|\sin\left(\sqrt{k}\right)\right|}{\sqrt{k}^3}} \leq k^{-\frac{3}{4}} \rightarrow 0 \) für \( k \rightarrow \infty \)

liefert die Konvergenz der Reihe mit den Koeffizienten

\( a_k = (-1)^k \frac{\sin\left(\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k}^3} \).

Mister

Comments

Funktioniert es nicht auch mit dem Leibniz Kriterium?

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Ich denke, dass das nicht geht.

Welche Voraussetzung des Leibnizkriteriums ist nicht erfüllt?

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Also der alternierende Faktor ist da,außerdem ist ak=sin(k√)/(√k)^3wie du es auch gezeigt hast eine Nullfolge.İch war mir aber nicht sicher ob die Funktion monoton fallend ist :/

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Welche Funktion müsste denn monoton fallend sein?

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Diese : sin(k√)/(√k)^3

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Okay, das ist aber eher eine Folge, obwohl der Begriff Funktion nicht falsch ist.

Und ist \( \frac{\sin\left(\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k}^3} \) monoton fallend?

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Die Voraussetzungen sind ja, dass:

1.Ein Alternierender Faktor existiert in diesem Fall (-1)^k

2.Muss die Folge ak also sin(k√)/(√k)^3 eine Nullfolge sein

3.Und sie muss monoton fallend sein

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Ich denke schon denn es gillt ak≥ak+1

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Okay, aber wie kommst du darauf, kannst du das kurz beweisen?

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Mein Tipp: Man kann es nur widerlegen ;)

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Nein,das ist ja mein Problem.İch habe ein Zahlenbeispiel gemacht daran weiß ich es.

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Wie denn widerlegen?

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Es reicht, wenn du dein Zahlenbeispiel um weitere Zahlen ergänzt.

Du kannst auch \( \frac{\sin\left(\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k}^3} \) als Funktion von \( k \) darstellen und siehst, dass sie nicht monoton fallend ist.

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Moment, ich habe das gerade mal gemacht...

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Es ist anhand eines Graphen zwar sehr schwer zu sehen, aber diese Funktion ist tatsächlich nicht monoton fallend.

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Berechne den Ausdruck an den Stellen \( k = 2^2 \), \( k = 5^2 \) und \( k = 8^2 \).

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Ok dann hat sich das erledigt Vielen lieben dank :)

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Okay, bitteschön.