Kreissektor quer teilen

Question

Aufgabe:Gibt es eine Formel für die Fläche eines quer geteilen Kreissektors?

Der spitze Winkel beträgt 30°, der Radius des Kreises ist 10cm. In welchem Abstand A von der Spitze ist die Teilung der Sektorfläche vorzunehmen, wenn 1/3 der Sektorfläche abgeteilt werden soll? Gibt es da eine Berechnungsformel?

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Welcher Teil (oben oder unten) ist 1/3 der ?

Soll die Fläche der Spitze oder des Bogens kleiner sein?

Answer 1

A = gegeben
B = gegeben
α = 30 °
R = Radius = 10 cm

Höhe von der Spitze bis zur Teilung
10 - A

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Fläche Kreis : 10^2 * π = 314 cm^2

Fläche unteres Dreieck : 314 : 3 = 104.72 cm^3

q = Länge Querlinie
h : Höhe unteres Dreieck

tan ( 15 ) = ( q / 2 ) / h
h = ( q / 2 ) / tan (15 )
F = ( q * h ) / 2 = 104.72
F = q * (( q / 2 ) / tan (15 )) / 2
F = q^2 * / ( 2 * tan ( 15 ) ) / 2
F = q^2 * / ( 4 * tan ( 15 ) ) = 104.72
q^2 = 112.24
q = 10.59

tan ( 15 ) = (q/2) / A
A ist Winkelspitze bis Querlinie
A = (q/2) / tan(15)
A = (10.59/2 ) / tan(15) = 19.76 cm
Kann nicht sein , muß < 10 sein.

Vielleicht hilft es trotzdem weiter.

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Korrektur :
es wurde vergessen das es sich nur um ein
Kreissegment  30 ° / 360 ° = 1/12 handelt

Fläche Kreissegment : 10^2 * π / 12 = 26.18 cm^2

Fläche unteres Dreieck : 26.18 : 3 =  8.73 cm^2

q = Länge Querlinie
h : Höhe unteres Dreieck

tan ( 15 ) = ( q / 2 ) / h
h = ( q / 2 ) / tan (15 )
F = ( q * h ) / 2 = 104.72
F = q * (( q / 2 ) / tan (15 )) / 2
F = q^2 * / ( 2 * tan ( 15 ) ) / 2
F = q^2 * / ( 4 * tan ( 15 ) ) = 8.73
q^2 = 9.36
q = 3.06

tan ( 15 ) = (q/2) / A
A ist Winkelspitze bis Querlinie
A = (q/2) / tan(15)
A = (1.529 ) / tan(15) = 5.71 cm

Probe
F ( Dreieck ) = 5.71 * 3.06 / 2 = 8.74 cm^2
Kreisegment 8.74 * 3 = 26.2 cm^2
Simmt mit dem Ausgangswert überein.
Das Ganze könnte stimmen.

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Abstand Spitze zur Trennlinie : 5.71 cm
q ergab sich bei mir zu 3.06 cm.
Dreieck = 5.71 * 3.06 / 2 = 8.74 cm^2

Kreissegment 26.18 cm^2.

Passt alles.

Ist bei mir irgendwo ein Fehler ?

Answer 2

Die von dir gesuchte Fläche ist A·B. Sie soll 1/3 des Kreissektors sein mit der Fläche 100·π/12

Also (1) 100·π/36=A·B. Dabei ist B/A=tan(15°) oder (2) B=A·tan(15°). (2) in (1) einsetzen und nach A auflösen.

Comments

A ist die Teilung wo das Kreisstück gleichmäßig geteilt wird (Fläche 1 = Fläche 2) also die Höhe der Teilung. B ist die Hälfte der Schnittbreite. Die Schnittbreite ergibt sich ja erst wenn man weiß auf welcher Höhe die Teilung ist, damit beide Teile von der Fläche her Gleich sind.

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Die von dir gesuchte Fläche ist A·B. Sie soll, wie ich jetzt lese, 1/2 des Kreissektors sein mit der Fläche 100·π/12

Also (1) 100·π/24=A·B. Dabei ist B/A=tan(15°) oder (2) B=A·tan(15°). (2) in (1) einsetzen und nach A auflösen

Dann ist A≈7.