Zeigen Sie: Es gibt eine Bijektion zwischen X und Y.

Question

Es seien X eine Menge mit k Elementen und Y eine Menge mit l Elementen. Weiter gebe es zwei injektive Abbildungen

f: X→Y und g: Y→X

Zeigen Sie: Es gibt eine Bijektion zwischen X und Y.

Answer 1

Mit \(|M|\) werde die Anzahl der Elemente einer Menge \(M\) bezeichnet.
Es gilt also \(|X|=k\) und \(|Y|=l\).

Da \(f\) injektiv ist, gilt \(|f(X)|=|X|=k\), mithin:
\(f(X) \subset Y \Rightarrow k=|f(X)|\leq |Y|=l \).
Die Injektivität von \(g\) liefert analog \(l\leq k\), zusammen also \(k=l\).
Die Elemente von \(X\) und \(Y\) können also durchnumeriert werden:
\(X=\{x_1,\cdots,x_k\}, \; Y=\{y_1,\cdots,y_k\}\).

Dann ist die Abbildung \(h:X\rightarrow Y, \;  h(x_i)=y_i \; (i=1,\cdots,k)\)
offenbar eine Bijektion.