k Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sich keiner als Linearkombination der andern darstellen lässt.

Question

Beweis lineare Unabhängigkeit okay?

also die Aufgabe war:

$$\begin{aligned} Beweisen~Sie,~dass~die~Vektoren~v_1,...,v_k, k \in \mathbb{N}~\\ eines~Vektorraums~V~ueber~\mathbb{K} \\ genau~dann~linear~unabhaengig~sind~,~wenn~keiner~dieser~Vektoren \\ ~eine~Linearkombination \ der~uebrigen~ist. \end{aligned}$$

 

Ich habe das so gemacht:

Wenn ein beliebiger Vektor $$v_i \in {v_1, ... , v_k}, i \in [1,k]$$ nicht als Linearkombination der übrigen Vektoren dargestellt werden kann, gilt

$$\lambda_i v_i \neq \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_{k-1} v_{k-1}$$

und somit

$$o \neq (-\lambda_i) \cdot v_i + \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_{k-1} v_{k-1}$$,

also auch

$$ o \neq \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_k v_k$$ mit $$\exists \lambda_n \in \mathbb{R}, \lambda_n \neq 0, n \in [1,k]$$. Es gibt also folglich auch nur die triviale Lösung und somit sind die Vektoren linear unabhängig.

 

Ist der Beweis okay?

Danke,

Thilo

Comments

Zwei Details:

1. n Element {1,…,k} nicht [1,k], da du kein Intervall meinst.

2. Du solltest nicht nur am Schluss im Text die triviale Lösung ausschliessen sondern sobald du die Lambdas einführst, kannst du machen, indem du das erste Lambda_i einfach weglässt. Das ist danach eine 1 resp. rechts eine (-1).

Dann solltest du dir aber auch die Logik nochmals überlegen. Das Ungleichheitszeichen ist zu wenig aussagekräftig.

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@Thilo87: Mir ist so, als hätten wir eine ähnliche Frage erst vor einer Woche oder so gehabt. Ich kucke mal...

Sieh da: https://www.mathelounge.de/59814/span-und-abhangigkeit .

Answer 1

Die Behauptung ist gleichbedeutend mit der Äquivalenz:

\(v_1,\cdots,v_k\) linear abhängig \(\iff\)
einer der Vektoren ist Linearkombination der übrigen.

\(\Rightarrow\) )

Seien \(v_1,\cdots,v_k\) linear abhängig, dass gibt es \(c_1,\cdots,c_k\in K\),

nicht alle \(=0\) mit \(c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0\).

oBdA sei \(c_1\neq 0\). Dann bekommen wir

\(v_1=(-c_2/c_1)v_2+\cdots+(-c_k/c_1)v_k\)

\(\Leftarrow\) )

Sei oBdA \(v_1=c_2v_2+\cdots+c_kv_k\). Dann gilt

\(1\cdot v_1+(-c_2)v_2+\cdots+(-c_k)v_k=0 \),

d.h. die Vektoren sind linear abhängig.

oBdA="ohne Beschränkung der Allgemeinheit" bedeutet hier:
"nach einer eventuellen Umnumerierung"