Vektorrechnung Parellelogramm Beweis

Question

Die Vektoren \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \) spannen das Parallelogramm \( \mathrm{ABCD} \) auf. Der Punkt \( \mathrm{E} \) teilt \( \overline{\mathrm{DC}} \) im Verhältnis 1:3. In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt S von BE mit AC die Diagonale \( \overline{\mathrm{AC}} \).

Answer 1

Ansatz:

r * [a, b] = [a, 0] + s * ([1/3*a, b] - [a, 0])

Lösung:

r = 3/5 ∧ s = 3/5

Die Diagonale AC wird im Verhältnis 3:2 geteilt.

Vorgehen:

Ich stelle zwei Geradengleichungen in Abhängigkeit der Vektoren auf und bestimme dann den Schnittpunkt der Geraden.

Also die Gerade AC geht von 0 * (a + b) bis 1 * (a + b) also r * (a + b). Ich habe das einfach als r * [a, b] geschrieben.

Die Gerade BE läuft von (a + 0b) bis (1/3*a + 1b). Das schreibe ich als [a, 0] + s * ([1/3*a, b] - [a, 0]).

Den Schnittpunkt ermittelt man indem man die Geraden gleichsetzt. Das kann man auflösen nach r und s. macht man das erhält man r = 3/5

3/5 teilt das Ganze in 3/5 und 2/5 also in 3 zu 2.