Hallo döschwo,
Dein Frage ist zwar schon veraltet, aber mir fällt dazu noch was ein, was vielleicht hilfreich ist.
Ist \(a\) die Länge der Grundkante und \(h\) der Pyramide, so ist das Volumen bekanntermaßen$$V=\frac 13 a^2 h$$und die Länge \(s\) einer Seitenkante $$s = \sqrt{h^2+\frac 12 a^2}$$Daraus lässt sich die Nebenbedingung aufstellen (\(\sum\) Kanten \(=C\))$$4a+ 4\sqrt{h^2+\frac 12 a^2} = C$$wobei das \(C\) die \(80\,\text{cm}\) sein sollen. Die Idee ist nun, den Lagrange Multiplikator zu benutzen. Und damit die Wurzelei nicht zu nervig wird, forme ich die Nebenbedingung noch mal um$$\begin{aligned}4\sqrt{h^2+\frac 12 a^2} &= C -4a &&|\,^2\\ 16h^2+8a^2 &= C^2-8aC + 16a^2\\ 2h^2 - a^2 + aC - \frac18 C^2 &= 0\\ &=\text N(a,h)\end{aligned}$$Lagrange-Gleichung aufstellen und das Ableiten ist nun ziemlich problemlos$$\begin{aligned}L(a,h,\lambda) &= \frac 13 a^2 h + \lambda \cdot \text N(a,h) \\ L_a &= \frac 23ah + \lambda\left(-2a+C\right) \to 0\\ L_h &= \frac13a^2 + \lambda\left(4h\right) \to0 \end{aligned}$$nach der Elimination von \(\lambda\) bleibt$$\begin{aligned}\frac 23ah \cdot 4h &= \frac13a^2 \cdot (-2a+C)\\ 2h^2 &= \frac14a(-2a+C)\end{aligned}$$Und die \(2h^2\) setze man in die Nebenbedingung ein und erhält$$\begin{aligned} \frac a4\left(C-2a\right) - a^2 + aC - \frac 18C^2 &= 0 \\ \frac14 aC - \frac 12a^2 - a^2 +aC - \frac 18 C^2 &= 0 \\ -\frac 32a^2 + \frac 54 aC - \frac 18 C^2 &= 0\\ a^2 - \frac {5}{6} aC + \frac 1{12} C^2 &= 0 \\ a_{1,2} &= \frac{5}{12}C \pm \sqrt{ \frac{25}{12^2} - \frac{12}{12^2}}\,C \\ &= \frac C{12}\left( 5 \pm \sqrt {13}\right) \end{aligned}$$Der größere Wert für \(a\) ist keine Lösung, also bleibt$$a = \frac C{12} \left(5-\sqrt{13}\right) \approx 9,30\,\text{cm}$$
