Aufgabe:
a) Interpolationspolynom bestimmen aus den Punkten
$$ (-1,2),(0,-3),(4,9) $$
Diese Funktionen gehen auch durch die Punkte:
$$ y=f_{1}(x)=\frac{9 x}{x-1}+\frac{1}{10}\left(x^{2}-4 x-30\right) $$
$$ y=f_{2}(x)=\frac{1}{20}\left(-x^{4}-17 x^{3}+96 x^{2}+12 x-60\right) $$
b) Ist P2(x) eine angemessene Approximation für f1(x) in I = [-1,4]? Begründen Sie Ihre Entscheidung mit Hilfe des Interpolationsfehlers.
c) bestimmen Sie für f2(x) eine obere Schranke des Interpolationsfehlers unter Benutzung der Abschätzung
$$ \begin{aligned}\left|f_{2}(\overline{x})-P_{2}(\overline{x})\right| \leq & \frac{\max \left|f_{2}^{\prime \prime \prime}(\xi)\right|}{3 !} \max \left|\prod_{i=0}^{2}\left(\overline{x}-x_{i}\right)\right|, \quad \xi \in[-1,4] \\ \text { für } \overline{x} \in I=[-1,4] \end{aligned} $$
Problem/Ansatz:
tappe mal wieder im dunklen und alles googeln hilft nichts... wenn ihr mir was davon leicht verständlich erklären könntet? ;)
zu a) Das IP-Polynom ist:
$$ P_{2}(x)=\frac{8}{5} x^{2}-\frac{17}{5} x-3 $$
zu b) Was genau ist eine Approximation/ ein Interpolationsfehler? Und wie bestimme ich den Interpolationsfehler dann?
zu c) Die Abschätzung verstehe ich überhaupt nicht, also z.B. das "max".
Die 3. Ableitung von f2 habe ich schon mal gebildet, da man sie ja anscheinend braucht?
$$ f_{2}^{\prime \prime \prime} = -\frac{12 x+51}{10} $$
Wie bestimme ich die obere Schranke des Interpoaltionsfehlers ? Und ist damit der Interpoaltionsfehler aus b) gemeint?
