Wie stelle ich das am besten an?
durch Nachdenken und intelligentes Probieren. Nehmen wir doch mal$$x_{n+1} = \frac 12 x_n$$egal wie das \(x_1\) aussieht werden die \(x_n\) mit wanchsendem \(n\) immer kleiner und sicher auch irgendwann kleiner als \(1\). Das Ding ist eine geometrische Reihe mit einem \(q\lt 1\) und konvergiert.
Schaut man sich die Reihe dann bei \(\sum x_n^2\) an, so wird man feststellen, dass diese erst recht konvergiert, da hier immer gilt$$x_n^2 \lt x_n \quad \text{für} \quad x_n \lt 1$$ Und das gilt für jede Folge von - Achtung! - positiven \(x_n\) für die natürlicher Weise gilt \(x_{n+1} \lt x_n\). Also braucht es ein paar negative \(x_n\) - z.B. jedes zweite.
Dazu suche man sich eine Folge mit der Eigenschaft \(x_{n+1} \lt x_n\), die nicht(!) konvergiert; z.B. die harmonische Reihe und postuliere:$$\sum_{n=1}^{\infty} x_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1n \implies x_n = \sqrt{\frac 1n}$$und dann sorgt man dafür, dass jedes zweite \(x_n\) negativ ist. Also$$x_n = (-1)^n \sqrt{\frac 1n}$$womit man dann erreicht, dass die Reihe$$\sum_{n=1}^{\infty} x_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sqrt{\frac 1n}$$konvergiert. Das zu beweisen, überlasse ich Dir ;-)
