Untersuchen sie ob (Z,#) mit a#b := a+2b eine Halbgruppe ist

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie ob HG= (Z,#) mit a#b := a+2b eine Halbgruppe ist

Problem/Ansatz:

Ich muss zeigen: Abgeschlossenheit, Assoziativität

Sei a,b,c,d ∈ Z

Abgeschlossenheit:

c#d = c+2d

=> c+2d  ∈ Z, weil c, d ∈ Z und Multiplikation und Addition abgeschlossen auf den ganzen Zahlen

=> HG ist abgeschlossen

Assoziativität:

zz: a#(b#c)  = (a#b)#c

a#(b#c) = a#(b+2c) = a+2(b+2c)

<=>a +2b +4c

<=>(a +2b) +4c

<=>(a#b) +4c

<=>(a#b)#2c

♫

=>a#(b#c)  ≠ (a#b)#c

=>HG ist keine Halbgruppe

Ist wahrscheinlich ein sehr einfacher Beweis, aber ich bin mir fast sicher, dass es trotzdem falsch ist oder passt es so? Was kann man noch zur Abgeschlossenheit sagen?

LG

Comments

Aus a&(b&c) = (a&b)&2c. Kann nicht geschlossen werden, dass & nicht assoziativ ist.

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Wo ist der Fehler?

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Könnte ich sagen:

a@(b@c) = a+2(b+2c) = a+2b+4c

(a@b)@c = a+2b+2c

a+2b+4c  = a+2b+2c

2c=c

deswegen nicht ass?

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Du musst schon konkret werden.

Answer 1

Wenn du zeigen willst, dass etwas NICHT gilt, dann

ist immer ein konkretes Gegenbeispiel angebracht:

(2#3)#4

=(2+6)#4

=8#4

=16

aber

2#(3#4)

= 2#(3+8)

= 2#11

=2+22

24

und weil 16≠24 ist, gilt hier keine Assoziativität.

Comments

Stimmt! Vielen Dank

So langsam geht es in den Kopf rein