ganzrationale Funktion 3.Grades; Graph ermitteln

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f 3.Grades verläuft durch den Koordinatenursprung, einen Hochpunkt (4,8) in II und bei x=6 eine Schnittstelle mit der x-Achse. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Funktion f.

Gegeben: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

H (4,8), Nullstelle x=6,0

f(4) = a ·4³ + b·4² + cx= 8

Wie muss ich weiterrechnen?

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c

verläuft durch den Koordinatenursprung

f(0) = d = 0

Hochpunkt (4,8)

f(4) = 64a + 16b + 4c + d = 8

f´(4) = 48a + 8b + c = 0

bei x=6 eine Schnittstelle mit der x-Achse

f(6) = 216a + 36b + 6c + d = 0

zur Kontrolle: f(x) = -1/4x^3 + 3/2x^2

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f 3.Grades verläuft durch den Koordinatenursprung, einen Hochpunkt H\((4|8)\) in II und bei \(x=6\) eine Schnittstelle mit der x-Achse. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Funktion f.

Hochpunkt H\((4|8)\)

Ich verschiebe um \(8\) Einheiten nach unten: H´\((\red{4}|0)\)Da ist nun eine doppelte Nullstelle.
\(p(x)=a(x-\red{4})^2(x-N)\)

verläuft durch den Koordinatenursprung: Verschiebung um 8 Einheiten nach unten: Y\((0|-8)\)  :
\(p(0)=a(0-4)^2(0-N)=-16aN=-8\)
\(a=\frac{1}{2N}\) :
\(p(x)=\frac{1}{2N}(x-4)^2(x-N)\)
Bei \(x=6\) eine Schnittstelle mit der x-Achse. Auch um 8 Einheiten nach unten verschieben:
A\((6|-8)\)  :
\(p(6)=\frac{1}{2N}(6-4)^2(6-N)=\frac{2}{N}(6-N)=-8\)

\(N=-2\)      \(a=-\frac{1}{4}\) :

\(p(x)=-\frac{1}{4}(x-4)^2(x+2)\)

Nun 8 Einheiten nach oben:

\(f(x)=-\frac{1}{4}(x-4)^2(x+2)+8\)

Comments

Dann benenne doch wenigstens vernünftig. f ist die gesuchte Funktion, bei Dir die Hilfsfunktion…

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Dann benenne doch wenigstens vernünftig. f ist die gesuchte Funktion, bei Dir die Hilfsfunktion

Ich verschiebe um \(8\) Einheiten nach unten.

Darunter steht  \(f(x)=a(x-\red{4})^2(x-N)\)

Am Schluss muss dann auch in \(p(x)=...\) umgeändert werden.

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???

welche Funktion ist bei Dir die Lösung?

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\(p(x)=-\frac{1}{4}(x-4)^2(x+2)+8\) ist die Lösung.

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Genau. Und schon mal die Aufgabe gelesen:

‚Der Graph einer ganzrationalen Funktion f…‘

Meinst Du nicht,  dass es verwirrend ist, wenn f bei Dir zwar vorkommt aber nicht die Bedeutung hat, die gefordert wird?

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Ich habe es umgeändert.

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Gut.

Noch besser wäre es, wenn Du schreiben würdest:

„Führe die Hilfsfunktion p(x) = f(x) - 8 ein.

Diese besitzt bei x₀ = 4 …“

Und am Ende dann: „Damit ergibt sich f(x) = p(x) + 8 = … „

Damit wären dann vermutlich alle zufrieden, weil nachvollziehbar.

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Bei zukünftigen Aufgaben dieser Art mache ich es so.