Wie kann ich die Konstanten bestimmen?

Question

Aufgabe:

Der Graph des Polynoms 3. Grades gehe durch den Nullpunkt. Der Punkt (1/-2) sei ein Wendepunkt. Die zugehörige Wendetangente schneidet die x-Achse in (2/0). Bestimmen Sie die Konstante a,b,c und d.

Answer 1

Hi,

für vier Unbekannte brauchst Du auch vier Bedingungen/Gleichungen.

Schnell findet man

f(0) = 0 (Ursprung)

f(1) = -2  (WendePUNKT)

f''(1) = 0   (WENDEpunkt)

Fehlt noch eine Bedingung. Dazu haben wir einen Hinweis bzgl der Steigung erhalten, die am Wendepunkt vorliegt.

Wenn wir nun eine Gerade bauen, die am Wendepunkt anliegt, sowie durch N(2|0) geht, entspricht die Steigung der Gerade der Steigung am Wendepunkt.

Mit W(1|-2) und N(2|0) kann man aufstellen (mit y = mx + b):

-2 = m + b

0 = 2m + b

Damit kommt man auf b = -4 und m = 2 → y = 2x - 4

Das ergibt die vierte Bedingung f'(1) = 2

Bedingungen:

f(0) = 0

f(1) = -2

f'(1) = 2

f''(1) = 0

Gleichungen:

d = 0

a + b + c + d = -2

3a + 2b + c = 2

6a + 2b = 0

Funktion:

f(x) = -4x³ + 12x² - 10x

Grüße

Answer 2

Hallo

 du schreibst auf, was du weisst:

f(0)=0 , f(1)=-2 die Gerade durch (1,-2) und (2,0) hat die Steigung f'(1) und f''(1)=0 damit hast du 4 lineare Gleichungen für a,b,c,d

Gruß lul

Answer 3

Der Graph des Polynoms 3. Grades gehe durch den Nullpunkt. Der Punkt (1/-2) sei ein Wendepunkt. Die zugehörige Wendetangente schneidet die x-Achse in (2/0). Bestimmen Sie die Konstante a,b,c und d.
f ( x ) = a * x³ + b*x² + c*x + d
f ´ ( x ) = 3a * x² + 2b*x + c
f ´´ ( x ) = 6a * x + 2b

f ( 0 ) = a * 0³ + b*0² + c*0 + d = 0   => d = 0

f ( 1 ) = -2
a * 1³ + b*1² + c*1 = -2
a + b + c = -2

f ´´ ( 1 ) = 0  [ keine Krümmung ]
6a * 1 + 2b = 0
6a + 2b = 0

Steigung Tangente
f ´ ( 1 ) = 3a * 1² + 2b * 1 + c
f ´ ( 1 ) = 3a + 2b + c
( 2 | 0 )
Tangentengleichung
f = y-Achsenabschnitt
t ( x ) = m * x + f
t ( 2 ) = f ´( 1 ) * 2 + f = 0
t ( 2 ) = ( 3a * 1² + 2b*1 + c ) * 2 + f = 0
t ( 2 ) = 6a  + 4b + 2c + f = 0

a + b + c = -2
6a + 2b = 0
6a  + 4b + 2c + f = 0

Ich hab noch 4 Unbekannte und 3 Gleichungen.
Fehlt in deinen Angaben noch irgendwas ?

Comments

Folgender Hinweis ist noch vorhanden
Tangente
( 1 | -2 )
( 2 | 0 )
m = -2 - 0 / ( 1 - 2 ) =  2
Dies ist auch die Steigung am Wendepunkt
f ´( 1 ) = 2
f ´ ( 1 ) = 3a  + 2b + c = 2

Lineares Gleichungssystem
a + b + c = -2
6a + 2b = 0
3a  + 2b + c = 2

f ( x ) = -4x³ + 12x² - 10x

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die Angabe ist vollständig

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Deshalb habe ich meine Antwort auch korrigiert.
Frag bitte nach bis die ganze Aufgabe klar ist.