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Hey könnte jemand bei folgender Aufgabe helfen ?


Aufgabe:

Es sei f : [a,b] → ℝ eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x) η (x) dx = 0 für jede Funktion

η ∈ C² [a,b] mit η(a) = η(b) = 0 gilt. Dann ist f identisch zu 0  . (Hier war das Gleichheitszeichen mit 3 Strichen)


Hinweis : Führen Sie den Beweis indirekt, indem Sie annehmen, dass f(x0) ≠ 0 für ein x0 ∈ (a,b) gilt.
Zeigen Sie, dass es dann eine geeignete Funktion η mit \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x) η (x) dx ≠  0 gibt.



Leider kriege ich hier nichts hin auch trotz des Hinweises und habe kein Ahnung wie es klappen soll.


Gruß

Hans

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\(\eta(x) = \begin{cases} (x-a)\cdot(x-b)&falls f(x) \lt 0 \\ -(x-a) \cdot (x-b) & \text{falls } f(x) \geq 0 \end{cases}\)

Ist leider nicht in C2[a,b], kann man aber vielleicht reparieren.

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