Aussage: 71 ist die größste supersinguläre Primzahl

Question

Was ist eine supersinguläre Zahl?

Bezüglich der Definition, die zu der Aussage "71 ist die größste supersinguläre Primzahl" passt?

Comments

In der OEIS Datenbank A002267 ist nachzulesen: "The 15 supersingular primes: primes dividing order of Monster simple group." Diese 15 Primzahlen, deren größste p=71 lautet, sind offensichtlich eine Untermenge der im Kommentar dort in A002267 als "Chen" Zahlen definierten Werte. Ich hab die Herkunft der Bezeichnung 'Chen' noch nicht recherchiert. Diese Zahlen sind leicht zu definieren. Es handelt sich,-- sehr strikt definiert,-- als solche unteilbaren Zahlen 1,2,3,5,... die jeweils um 2 erhöht, entweder wieder prim sind oder  maximal 2 echte  prime Zerlegfaktoren innehaben (das gilt für die unteilbaren Zahlen 2, 3 und kann für die Zahlen der Form 6n-1 gelten (der erste Fall für den eine 6n-1 Primzahl,- um 2 erhöht,- einen Ausdruck mit mehr als zwei Zerlegprimfaktoren liefert lautet    173    →   175  = 5² ·7   . Meine hier gestellte Frage läßst sich nun erstmal auf Folgendes reduzieren: was ist  "order of Monster simple group"? 

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"Die Monstergruppe ist eine der 26 sporadischen Gruppen in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik."

https://de.wikipedia.org/wiki/Monstergruppe

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zu der Primzahl 71
Die Primzahl p=71 ist mir i.b. auf drei verschiedenen Weisen (siehe A), B), C)) in ausgezeichneter Form begegnet. Um das zu erläutern  soll hier kurz eine besondere Primzahlbetrachtung angeschnitten werden (Quelle: Dr. Peter Plichta, „Das Primzahlkreuz“, Band II, 4. Buch, Kap. 9 ‚Infinitesimalrechnung‘ im Abs. ‚Die Primzahlordnung des dreidimensionalen Raumes‘
(in der 1991er Ausgabe, S. 187)): „Der Blick auf die in Primfaktoren zerlegten Nenner der Bernoulli-Zahlen (Tabelle 6) liefert die Primzahlfolge 2,3,5,7,11,13,… . Diese Primzahlordnung ist nun gerade mit jener identisch, welche die Mathematiker von alters her gewohnt sind. Als wir in Band I eine Primzahlordnung des vierdimensionalen Raumes von der Ordnung 1,5,7,11,13,… eingeführt haben,
werden viele Mathematiker Schwierigkeiten gehabt haben, diese Neuerung nachzuvollziehen. Wir bestanden damals nicht auf eine Umdefinition des Primzahlbegriffes, weil sich nun herausstellt, dass der Primzahlbegriff, je nach der Zuordnung zum drei- oder vierdiemensionalen Raum ein anderer ist: bei dem Primzahlraum sind es die fortlaufenden Zahlen als solche, deren Primzahltakt
durch die zyklische Anordnung sichtbar wird. Dagegen geht es im dreidimensionalen Raum um reziproke Zahlen und die Verknüpfung geordneter Zahlen mit Exponenten. Die Primzahlordnung der Exponenten spiegelt sich aber in der Primfaktorzerlegung der Nenner der Bernoulli-Zahlen wider. Die von der Mathematikern bisher benutzte Primzahlfolge ist deshalb dem dreidimensionalen Raum und
nur ihm zugeordnet, weil der Leibnizsche Intergationsschritt eine Exponentenordnung regelt. Dreidimensionaler und vierdimensionaler Raum sind durch einen Integrations- bzw. Differentiationsschritt miteinander verknüpft. ….“                                                                                                 Im folgenden soll etwas unprecise von 3d- und 4d-Primzahlen, bzw.3d- und 4d-Primzahlfolgen die Rede sein, also erste Zahlen 2,3,5, … und 1,5,7, …, wobei sich diese beiden Folge nur durch die drei unteilbaren Anfangszahlen 1,2,3 unterscheiden. Größer 3 ist daher eine n-te 3d-Primzahl p die n-1 -te 4d-Primzahl p.
A) Betrachtet man Summen erster n 3d-Primzahlen , die ≡ 0 mod der n+1 -ten 3d-Primzahl, bzw. der n-ten 4d-Primzahl sein können, sind bis dato vier Fälle (mein Wissensstand) bekannt.  Die ersten  vier Summen von n ersten 3d-Primzahlen, die durch die n-te 4d-Primzahl
ganzzahlig teilbar sind, lauten (in Klammern stehen die Anz. der 3d -Primzahlen):                              
a) (2) 2+3=5=1•5                                                                                                                                                   
b) (19) 2+3+5+ ... +67=568 = 2³ • 71                           
c) (31463) 2+3+5+ ...+369097=5536785000=15000•369119
d) (22096547)  2+3+5+…+ 415074631=4456254649636576=10736032•415074643
Die mittigen 3d-primen Summanden für a), b), c) u.d) sind                                                                                               
a) ---                                                                                                
b) (10) 29                                                                                ≡ 5 mod 24
c) (15732)  172717                                                               ≡13 mod 24
d) (11048274) . ???                                                              ???
(Siehe zu b)  der mittige Summand 29 weiter unten)

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Die einzige prime Anzahl, die hier aus den Formen 6n±1 ist, ist die Anzahl 19.  Es gilt: die Summe der ersten 19 3d-Primzahlen bis 67 ist ganzzahlig durch die 19. 4d-Primzahl 71 teilbar, denn 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47+53+59+61+67=568=2³•71. Da diese ersten Primzahlen bis 67 summiert einen Ausdruck liefern, der ≡ 0 mod der nächsten Primzahl 71 ist, werden auch die ersten 19+1=20 3d-Primzahlen summiert einen ≡ 0 mod 71 Ausdruck liefern. Der Cofaktor des Primfaktors 71 [B) nota: das kleinste Primmodul p,
das um 1 gemindert gleich zwei echte Primfaktaktoren/Primteiler aus den Formen 6n±1 ausweisen kann ist die 19. 4d-Primzahl p=71, da 70=2•5•7, diese Tatsache hat Folgen für die quadratischen Nichtreste, bzw. primitiven Wurzeln, und quadratischen Reste des 19. 4d-Primmoduls p=71,
die etwas mit der Primzahl 7 zu tuen haben] wird jetzt nicht 2³ lauten, sondern 3², - 639=3²•71, wobei 2³,3² das einzig-mögliche nicht triviale aufeinanderfolgende Potenzpaar darstellt, wobei es ich hier offensichtlich um eine Potenzinvertierung aus den einzigen beiden Primzahlen handelt,
die nicht dem 6er Takt gehorchen, 2 u. 3. Das kleinste Primmodul p, für das p-1 gleich zwei echte Primteiler >3 ausweisen kann, 71, ist also über den Index als p-te 4d-Primzahl mit der Primzahl 19 verknüpft. 
C.F.Gauss hat sein zahlentheoretisches Meisterwerk „Disquisitiones Arithmeticae“
auf Kongruenzbetrachtungen begründet (siehe Peter Plichta „Das Primzahlkreuz“, Band III, 6. Buch, Kap. 13, etwa S. 261). Als Beispiel verwendet er ‚zufälligerweise‘ p=19. Er schreibt: „Wenn a^e≡ b (mod p) ist, werden wir e den Index von b nennen“.... "Wenn z.B. für das Modul 19 die
primitive Wurzel 2 als Basís genommen wird, so werden
den Zahlen 1  2    3   4   5    6   7 8 9 10 11  12 13 14 15  16 17 18                              
die Indices 0  1   13  2  16 14  6 3 8 17 12 15    5  7   11  4   10   9  entsprechen.“                                           Das Primmodul p=19 hat aber eine Fülle von teils einmaligen Auszeichnungen.
Für erste echte ung. Primmodule p bis 283 habe ich außer p=19 kein Primmodul mit folgender Auszeichnung gefunden:                                                   
Betrachtet man die absolut kleinsten quadratischen Nichtreste (im folgenden qnR) und absolut kleinsten quadratischen Reste (im folgenden qR) des 4n-1 Primmoduls p=19
[nota: a) ohne Vorzeichen handelt es sich also um die Werte von 1 bis 9, welche das Dezimalsystem fundieren, wobei die ersten 9 natürlichen Zahlen, beginnend mit 1, die längste Folge aufeinanderfolgender Zahlen darstellen, die entweder prim der Formen 6n±1 oder nicht prim der Formen 6n±1 und ohne echte 6n±1 Teiler sein können, und  b) der Saroszyklus von insgesamt
8 Finsternisereignissen in exakt 19 Finsternisjahren ist in allen Hochkulturen bekannt gewesen] ergeben sich  die
neun absoluten qnR  2,3,8,-9,-7,-6,-5,-4,-1 (da die kleinsten qnR 2,3,8,12,13,14,15 u.18 lauten) und neun absoluten qR (ohne Nullkongruenz)  1,4,5,6,7,9,-8,-3,-2
da die kleinsten qR (ohne Nullkongruenz)  1,4,5,6,7,9,11,16,17 lauten). Teilt man nun diese absolut kleinsten qnR und qR,-- die für ein 4n-1 Primmodul p nur durch die jeweiligen Vorzeichnen unterschieden sind,-- jeweils  in ung. und ger., und summiert, sind die Teilsummen dadurch ausgezeichnet, dass sie jeweils ≡ 0 mod 19 Ausdrücke liefern können, denn es gilt 
absolute qnR  3-9-7-5-1=-19 und 2+8-6-4=0                                                                                                         
absolute qR  1+5+7+9-3=19 und 4+6-8-2=-0.     
Ob es weitere Primmodule p mit dieser Auszeichnung gibt, weiß ich nicht, jedoch hat das Primmodul p=19 noch weitere teils einmalige Auszeichnungen, die sich bspw. zeigen, wenn man die qnr und qR jeweils in die 4 Sorten Zahlen 4n-1,4n+1,4n+2 und 4n aufteilt.

 

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C.) Im folgenden soll die Primzahl p=71 im Zusammenhang mit dezimal-komplementären Resten betrachtet werden. Mit dezimal-komplementären Resten sollen 2 Zahlen (i.b. prime) p,q, q>p betrachtet werden, für die gilt, p+q=10ⁿ. Nun  soll gezeigt werden, daß  in diesem Zusammenhang  
für alle 10ⁿ das (prime)Paar 29,71 einmalig ausgezeichnet ist [nota: in der Reihe 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47+53+59+61+67=568=2³•71 ist das mittige Glied die 29].                                                                                                                                                                         Anforderung: Zerlegt man 10ⁿ -2, soll es außer dem Primfaktor 2 nur einen  primen Faktor der Formen 6n±1 bzw. Potenzen von ihr geben (der Primfaktor 3 ist natürlich ausgeschlossen), und es soll jeweils 2 Summanden der Form a+b = 10ⁿ geben, die beide, um 1 gemindert,  eben diese eine Primzahl aus den Formen 6n±1 als Faktor aufweisen , dann muß diese eine Primzahl als letzte Ziffer eine 3 oder eine 7 aufweisen, um quadriert der Form 5 •10ⁿ -1, n = 1, 2, …  sein zu können ( ist 10ⁿ/2-1 selbst ein primes p, kann es keine 2 Summanden a+b=10n geben, die beide p als Faktor enthalten, denn die Zahlen von der Form 98, 998, 99…8 usw. sind 4n+2 Zahlen nicht teilbar durch 3. Nur für n=0 erhält man mit 5 •10ⁿ -1 eine gerade Zahl, die desweiteren der Form 4n ist, eben die 4, was zu 10-2 = 8 führt, und zu dem einzigen solchen Fall, bei dem offensichtlich 5 •10ⁿ -1 keine echten 6n±1Primteiler aufweist. Denn  die Zahlen 50-1, 500-1 sind resepektive ≡  1 und 19 mod 24, alle größeren solchen Zahlen 5000-1, 50000-1, … sind stattdessen stets  ≡ 7 mod 24. Da ein Quadrat aus den Formen 6n±1 nur ≡ 1 mod 24 sein kann, gibt es nur den einen möglichen Fall  50-1 = 49 =7² , eben im Zusammenhang mit 10² -2 = 98, der es ermöglichen kann , dass es 2 Primzahlen der Formen 6n±1,  und nur 2 geben könnte, die summiert 10ⁿ liefern, und jeweils um 1 reduziert den einen einzigen möglichen gemeinsamen  Primfaktor aus den Formen 6n±1 für dieses 10ⁿ aufweisen. Es gibt für 10² vier paarige Summanden a+b-=10² für a,b beide ung. und ≡ 1 mod 7sind, diese lauten 1∧99, 15∧85, 29∧71 und 43∧57, wobei offensichtlich NUR das 3. Paar zwei Primzahlen aus den Formen 6n±1ausweist (dabei gehört der Summand 71 um 1 erniedrigt , gleichzeitig zu den Summanden a+b= 10², die, um 1 gemindert, den Primteiler 5 aufweisen). Die beiden 7er Zahlen 29-1 ∧ 71-1 teilen die Zahl 14,- als Cofaktoren der 7 in die Cofaktoren 4 ∧ 10
(diese beiden Werte sind nicht zufällig aufeinanderfolgende Tetraederzahlen), wobei interessanterweise die Glieder des offenen Intervalls 4,10 , da der Formen p±(p-1)/2, p=7, summiert einen quadratischen Ausdruck 4+5+6+7+8+9+10=7² liefern müssen.

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tl;dr Übrigens ist \(a \wedge b= max\{a,b\} \), im Fließtext nimmt man das schöne Wort und.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Was ist eine supersinguläre Zahl?

Eine supersinguläre Zahl im Zusammenhang mit elliptischen Kurven, insbesondere eine supersinguläre Primzahl, hat eine spezifische Bedeutung in der Zahlentheorie und Kryptographie. Im Allgemeinen bezieht sich eine supersinguläre Primzahl auf eine Primzahl \(p\), für die eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper \(\mathbb{F}_p\) als supersingulär klassifiziert wird.

Eine elliptische Kurve \(E\) über einem endlichen Körper \(\mathbb{F}_p\) ist supersingulär, wenn sie keine Anheftungspunkte (Weierstraß-Punkte) hat, deren Tangenten eine Ordnung größer als 2 besitzen, oder einfacher gesagt, wenn die Anzahl der \(\mathbb{F}_p\)-rationale Punkte auf der Kurve (inklusive des unendlich fernen Punktes) \(p + 1 - a\) ist, wobei \(|a|\) sehr klein bezüglich \(p\) ist, typischerweise \(a^2 \le 4p\), und die Elliptische Kurve die Hasse-Bedingung nicht erfüllt. Für supersinguläre elliptische Kurven über \(\mathbb{F}_p\) gilt speziell, dass \(a = 0\) oder \(|a| = 2\sqrt{p}\), was zu besonders interessanten Eigenschaften führt.

Bezüglich der Definition, die zu der Aussage "71 ist die größte supersinguläre Primzahl" passt?

Diese Aussage kann jedoch irreführend sein oder auf einem Missverständnis basieren. Das Konzept der supersingulären Primzahlen bezieht sich oft nicht auf die Zahl selbst, sondern auf die Eigenschaften der elliptischen Kurve über dem endlichen Körper, der durch die Primzahl definiert wird. Es gibt keinen definitiven Endpunkt oder eine "größte" supersinguläre Primzahl in diesem Sinne, weil für jede Primzahl \(p\), können verschiedene elliptische Kurven über \(\mathbb{F}_p\) existieren und einige dieser Kurven könnten supersingulär sein, während andere es nicht sind.

Außerdem basiert die Bestimmung, ob eine elliptische Kurve supersingulär ist, auf spezifischen Eigenschaften der Kurve selbst und nicht nur auf der Primzahl, die den endlichen Körper definiert.

Es ist auch wichtig zu betonen, dass die Theorie supersingulärer elliptischer Kurven sehr komplex ist und supersinguläre Primzahlen in verschiedenen mathematischen und kryptographischen Kontexten unterschiedlich relevant sind. Ohne weitere Präzisierung, in welchem Kontext die Aussage "71 ist die größte supersinguläre Primzahl" gemacht wird, ist es schwierig, die Richtigkeit dieser Aussage zu bewerten. In der Literatur zu elliptischen Kurven und in der Kryptographie ist es nicht üblich, von der "größten supersingulären Primzahl" zu sprechen, da dies nicht dem Verständnis entspricht, dass die Eigenschaften supersingulärer elliptischer Kurven in Abhängigkeit von der jeweiligen Kurve und dem endlichen Körper, über dem sie definiert sind, variieren können.