Ich komme bei einer Aufgabe seit einer ganzen Weile einfach nicht mehr weiter, besser gesagt: mir fehlt gescheiter Ansatz, und hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.
______________________________________________________________
Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Sei U eine Untergruppe der Gruppe G.
Zeigen Sie:
U ist ein Normalteiler vonG, wenn G/U aus 2 Äquivalenzklassen besteht.
Ich weiß nicht so recht, wie ich die Aussage beweisen soll... Ich habe es mit folgendem Ansatz versucht, aber bin nicht so weit gekommen:
Ansatz
_______
Nach Voraussetzung besteht G/U aus zwei Äquivalenzklassen.
Also: $$G/U = \{[a]_{\sim}, [b]_{\sim} \; \vert \; a, b \in G \}$$,
wobei $$[a]_{\sim}, [b]_{\sim}$$ die Äquivalenzklassen bezüglich der Relation
$$a \sim b :\Leftrightarrow a^{-1} \circ b \in U$$ sind.
Zu zeigen:
$$g \circ U = U \circ g\quad \forall g \in G$$
"$$\subseteq$$"
Sei x aus g o U
Dann lässt sich x darstellen als $$x = g \circ u$$. Offensichtlich ist auch $$x \in [g]_{\sim} = g \circ U$$
Nun weiß ich nicht mehr weiter, bzw. weiß ich nicht mal, ob mein Ansatz sinnvoll ist.
Kann mir da jemand helfen? Wäre für jede Hilfe sehr dankbar!
