Aufgabe:
Sei a>0
a) Zeigen Sie, dass $$\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})\geq\sqrt{a}$$ für jede positive reelle Zahl x.
b) Zeigen Sie, dass die durch $$f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})$$definierte Abbildung $$f: [\sqrt{a}, \infty) \rightarrow [\sqrt{a}, \infty) $$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante $$C = \frac{1}{2}$$ ist, und bestimmen Sie den eindeutig bestimmten Fixpunkt von f.
c) Sei jetzt $$a := 2, x_0 := 2, x_{n+1} := f(x_n)$$ für $$n \in \mathbb{N}$$. Zeigen Sie ohne Benutzung einer Näherung von $$\sqrt{2}$$, dass $$|\sqrt{2}-x_7|<10^{-2}$$.
Problem/Ansatz:
Ich bin an diversen Umformungsversuchen gescheitert und bin für sämtliche Hinweise dankbar!
Bei a) habe ich nur Umformungen wie z.B. $$=\frac{(x- \sqrt{a})^2}{x} \geq 0$$ oder $$\frac{a+x^2}{x} \geq 2 \sqrt{a}$$, was mir irgendwie nix bringt.
Bei b) habe ich nur $$|f(x)-f(y)|=…=\frac{1}{2}|x+\frac{a}{x}-y+\frac{a}{y}|$$ und weiß auch nicht weiter.
Bei c) verstehe ich nicht mal die Aufgabenstellung.
