Aussage über Minimalpolynom

Question

Aufgabe:

Es geht um einen Teil eines Beweises über das Minimalpolynom, welchen ich nicht so ganz verstehe:

Es sei V ein n-dimensionaler \( \mathbb{K} \)-Vektorraum, \( f:V \rightarrow V \) linearer Endomorphismus.

Dann gibt es ein Polynom \( \mu_f(t)=\sum_{k=0}^m a_k\cdot t^k, ~ a_m=1, ~ m \geq 1 \), sodass \( \psi_f(\mu_f)=0 \) und \( \mu_f \) ist Teiler von jedem Polynom \( p \in \mathbb{K}[t] \) mit \( \psi(\mu_f)=0 \).

Die beiden Unklarheiten habe ich rot gekennzeichnet.

Beweis:

$$\text{Sei }N_f:=\Big\{p(t)=\sum_{k=0}^l a_k\cdot t^k\in \mathbb{K}[t]:\psi_f(p)=0, l\in \mathbb{N}_{\geq 0}, p\neq 0\Big\}. $$

$$ \text{Nach dem Satz von Cayley Hamilton ist bereits das charakteristische Polynom }  P_f(t)\in N_f.\\\text{Damit gibt es ein } \textcolor{#F00}{ \mu_f\in N_f } \text{ mit kleinstem Grad }(\geq 1).$$

$$ \text{Sei nun }p\in N_f. \text{ Dann ist }p=q\cdot \mu_f+r \text{ mit } r=0 \text{ oder } grad(r)<grad(\mu_f).\\\text{Dann ist } 0=\psi_f(p)=\psi_f(q\cdot \mu_f)+\psi_f(r)=\psi_f(r). \textcolor{#F00} {\text{ Daraus folgt } r=0 }. $$

Definition:

$$ \psi_f: \mathbb{K}[t]\rightarrow L(V;V) $$ mit $$ \psi_f\left( \sum_{k=0}^m a_k\cdot t^k\right):=\sum_{k=0}^m a_k \cdot f^k, \quad f^k:=\underbrace{f\circ...\circ f}_{k-mal}$$

Answer 1

Grob gesat ist \(N_f\) eine Menge der Polynome. Betrachtest du ihre Grade, fasst sie in einer Menge \(G\subset \mathbb N \)zusammen und begründest, dass G nach unten beschränkt ist, so hat G einen minimalen Element. Der zugehörige Polynom mit diesem Grad nennen wir dann \(\mu_f \). Es bleibt nur zu zeigen, das Minimum von G größer gleich 1 ist, denn dann ist \(grad \mu_f \geq 1\).

Aus \(0=\psi_f(r)\) folgt \(r=0\), da nach Voraussetzung \(r \) kleineren grad als \(\mu_f\) hat. Mögliche Begründung: Wäre\( r \neq 0\), dann aus der Eindeutigkeit des Polynoms mit kleinsten Grad und normierten Leitkoeffiezient folgt bereits \(r=\mu_f\), was \(grad r < grad \mu_f \) widerspricht.

Comments

Warum ist der Grad von μ_f  ≥1 ?

---

Kann μ_f ein konstantes Polynom sein?

---

Das frage ich mich ja auch die ganze Zeit. μ_f = 1 wäre ja ganz einfach zu betrachten.