Bestimmen von A+ für A:=[1 1 1] und zeigen, dass A+ die Moore–Penrose–Inverse zu A ist.

Question

Eine Berechnung zu der Moore Penrose Inverse zu A:

Sei U:= SR(A)⊆R^m der Spaltenraum von A. Seien e₁, . . . , e_m ∈R^m die Spalten der Einheitsmatrix I_m.

Aus der Vorlesung wissen wir, dass es zu j∈ {1, . . . , m} genau ein b_j∈U mit ||ej−bj||= min{||ej−u||∣∣u∈U}.

Betrachte dann das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix [A|b_j]; dies ist lösbar wegen b_j∈U= SR(A). Es gibt gemäß Vorlesung eine eindeutige Lösung mit minimaler Norm, die wir mit a⁺_j∈Rⁿ bezeichnen. Sei dann A⁺∈R^n×m die Matrix mit Spalten a⁺₁, . . . , a⁺_m.

Null soll ich A⁺ für A:=[1  1  1]∈R^1×3 bestimmen und zeigen, dass A⁺ die Moore–Penrose–Inverse zu A ist.

Leider komme ich mit der Aufgabenstellung gerade nicht ganz so gut klar. Ich weiß, dass die Moore Penrose Inverse A+ eine Pseudo Inverse zu A ist, sodass AA⁺ und A⁺A symmetrisch sind.

Doch wie berechne ich hier das A+ mit den Angaben, die ich  habe?

Es ist doch der Spaltenraum von A gegeben durch 1 oder? Dann ist||ej-bj||=(1,0)-(1,0)=0.

Muss ich jetzt dann einfach [A|0] lösen und das Ergebnis sind dann die Spalten der Matrix A⁺?

Comments

Kann mir niemand sagen, ob mein Ansatz so stimmt??