Aufgabe:
Sei \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb{R}(x)\) mit \(\displaystyle f(x)=f_nx^n+...+f_0, g(x)=g_mx^m+...+g_0, f_n\neq 0, g_m\neq 0.\) Man definiert \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}>0\), wenn \(\displaystyle \frac{f_n}{g_m}>0\), und man schreibt \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}>\frac{p(x)}{q(x)}\), wenn \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}-\frac{p(x)}{q(x)}>0\).
Zeigen Sie für \(\displaystyle a,b\in\mathbb{R}(x)\): Genau eine der Relationen a<b, b<a oder a=b gilt.
Problem/Ansatz:
a<b und b<c impliziert a<c kann verwendet werden.
a<b: Es folgt, dass b-a>0, also b-a-e=0 bzw. a+e=b mit e>0 für b>0 (für b<0 wähle -e>0).
Betrachte damit b<a: b=a+e<a. Widerspruch!
Betrachte damit a=b: a=a+e. Widerspruch!
Reicht das schon oder ist der Beweis komplexer?
