Soweit bin ich bisher:
Für "⇒"
Man nehme an, dass \(z_n\not\rightarrow z\), dann exisitiert \(\varepsilon_0 >0\) so, dass für alle \(N\in \mathbb{N}\) nun \(n\geq N\) mit \(|z_n-z|>\varepsilon\)
Sei \(n_k\) die Folge der Elemente in \(A:=\{n\in\mathbb{N} : |z_n-z|>\varepsilon_0\}\) und sei \(z_{n_k}\) eine Teilfolge von \(z_n\). Nach Definition ist \(|z_{n_k}-z|>\varepsilon_0\). Das gilt dann auch für jede Teilfolge der Teilfolge \(z_{n_{k_l}}\) von \(z_{n_k}\), also \(|z_{n_{k_l}}-z|>\varepsilon_0\). Das heißt, dass es keine Teilfolge von \(z_{n_k}\) nach \(z\) konvergiert, was ein Widerspruch ist.
