i) ==> ii) Sei f injektiv und N ⊆ X.
Sei y∈ f(X \ N). ==> ∃x∈X , x∉N mit f(x)=y
==> y∈f(X). Wäre nun y∈f(N), dann gäbe es
ein a∈N mit f(a)=y=f(x) aber x≠a
im Widerspruch zu injektiv.
Also y∈f(X) und y∉f(N) , also y∈ f(X) \ f(N).
Umgekehrt : Sei y∈ f(X) \ f(N).
Zeige, dass daraus folgt y∈ f(X \ N).
Dann wäre i) ==> ii) fertig.
zu ii) ==> i) . Es gelte für alle N ⊆ X gilt f(X \ N) = f(X) \ f(N).
Angenommen es sei f nicht injektiv.
Dann gibt es a,b ∈ X mit f(a) = f(b)=y .
Betrachte N={a}. Dann ist f(X\N) = f(X)
denn das fehlende y fehlt nicht, da es durch
f(b) in der Bildmenge von X\N enthalten ist.
Aber es ist y∈f(N), weil a∈N.
Also gilt y∈f(X) und y∈f(N) , allso y∉ f(X) \ f(N).
Also wäre f(X\N) ≠ f(X) \ f(N) im Widerspruch zur
Voraussetzung.
