Augabe: Man berechne e^At

Question

ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiß, wie ich vorgehen soll:

Man berechne \( e^{At} \) mit

A=\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \)

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe

Answer 1

diagonalisiere die Matrix. Dann berechnet sich das Matrixexponential gemäß

https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential#Diagonalisierbare_Matrizen

Comments

Ich habe die Matrix jetzt diagonalisiert, verstehe aber nicht wie ich jetzt das Matrixexponential berechne.

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \)

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Das ist erstmal richtig. Als nächstes brauchst du noch die Basiswechsel Matrix U und U^{-1}, also die Eigenvektoren von A.

Dann gilt

exp(At)=U * exp(Dt) * U^{-1}

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Hab jetzt \( e^{At} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) * \( e^{\begin{pmatrix} t & 0 & 0 \\ 0 & 3t & 0 \\ 0 & 0 & 5t\end{pmatrix}} \)  * \( \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}  \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \)

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Das ist auch alles richtig gemäß wolfram alpha ;).

In der Mitte kannst du leicht ausrechnen: Das Exponential einer Diagonalmatrix ist einfach die Exponentialfunktion auf die Diagonaleinträge angewandt, also

diag(e^t, e^{3t}, e^{5t}). Danach musst du die Matrixmultiplikation durchführen und bist fertig.

Kontrollergebnis:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=exp(((1,1,1),(0,3,2),(0,0,5))*t)

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Sicher\( \)?

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Denke schon, wo siehst du ein potentielles Problem?

Nachtrag: sehe gerade, dass wolfram eine andere Syntax für Matrixexponential hat:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=MatrixExp(((1,1,1),(0,3,2),(0,0,5))*t)

Jetzt stimmt es auch mit der Rechnung überein ;)