Polynom als Minimalpolynom begründen

Question

Ich habe von einer Linearen Abbildung zunächst das charakteristische Polynom bestimmt. Von dieser linearen Abbildung möchte ich auch nun das Minimalpolynom bestimmen. Ich nenne es mal hier m(t) . Ich war nun ziemlich überzeugt davon, es gefunden zu haben. Außerdem kenne ich über Minimalpolynome folgende Aussage: m(t) ist Teiler von jedem Polynom p∈K[t] mit ψ_f(m(t))=0. Dabei ist $$ \psi_f: \mathbb{K}[t]\rightarrow L(V;V) $$ mit $$ \psi_f\left( \sum_{k=0}^m a_k\cdot t^k\right):=\sum_{k=0}^m a_k \cdot f^k, \quad f^k:=\underbrace{f\circ...\circ f}_{k-mal} $$

Wie kann ich nun zeigen, dass mein gefundenes Polynom die obige Aussage erfüllt?

Edit: Für das charakteristische Polynom ist das klar, da die Linearfaktoren von μ_f auch mindestens beim charakteristischem Polynom vorkommen.

Comments

Beispielsweise betrachte ich die Matrix

$$ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & -2\\1 & 1 & 1 & 0 & -1\\1 & 0 & 2 & 0 & -1\\1 & 0 & 1 & 2 & -2  \\1 & 0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \in M(5,5,\mathbb{C}) .$$

Das charakteristische Polynom ist hier $$ P_A(t)=(t-1)^3\cdot (t-2)^2. $$

Ich betrachte nun das Polynom $$ g(t):=(t-1)^2\cdot (t-2). $$ Es gilt hier $$ \psi_A(g(t))=\textbf{0}\in M(5,5,\mathbb{C}) .$$

Aber wie kann ich nun damit zeigen, dass auch g Teiler von allen Polynomen p∈C[t] mit μ_A(p)=0 gilt?