Funktion umkehrbar auf maximalem Definitionsbereich

Question

 Aufgabe:

Ist die Funktion f(x) = \( \sqrt[4]{1-x2} \)+ 2 auf ihrem maximalen Definitionsbereich umkehrbar? Wenn nein, geben Sie eine möglichst große Definitionsmenge an, auf der f umkehrbar ist. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion und die Bildmengen von f.

Problem/Ansatz:

D_max = {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 1}

f(D) = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 3}

f(-1) = f(1) -> nicht injektiv, daher auch nicht bijektiv und auch nicht umkehrbar.

Umkehrbar für: D = {x ∈ R | x ≥ 0}

Berechnung von f^-1 :

y = \( \sqrt[4]{1-x2} \) + 2

x ^{\( \frac{2}{4} \)} = y - 2 + 1 ^{\( \frac{1}{4} \)}

x = y - 1

f ^-1 (x) = x - 1

Ist das so richtig? Vielen Dank schon mal.

Answer 1

Berechnung der Umkehrung ist falsch

(sonst alles OK) .

y = (1 - x^2 ) ^0,25  + 2

y-2 =  (1 - x^2 ) ^0,25

(y-2)^4 = 1-x^2

x^2 = 1 -  (y-2)^4

x = √ ( 1 -  (y-2)^4 )