Beweis der Formel y=√(r^2-x^2)

Question

Aufgabe: Also ich hab bald eine Mathenachprüfung und mein Mathelehrer meinte ich solle mich mit dem Beweis dieser Formel befassen.

Problem/Ansatz:

Ich denke ich muss jetzt integrieren halt mit den Grenzen von 0 bis r. Aber was soll da am Ende rauskommen? Ich komme da gerade absolut nicht weiter.

Answer 1

Du hast das Stichwort "Rotationsvolumen" angegeben. Falls die Aufgabe in diese Richtung gehen kann, gehört das in die Überschrift.

Vielleicht sollst du mittels Integration das Volumen einer Kugel bestimmen oder schlicht die Formel erklären, die bei der integrativen Berechnung von Rotationsvolumina verwendet wird. Das würde dann heissen: Mantellinie , Rotationskürper, Scheibchen, .... skizzieren und Formel damit in Verbindung bringen.

PS: In der Funktionsgleichung y=√(r^2-x^2) versteckt sich der Pythagoras. Kannst du beim Skizzieren der Mantellinie gleich erklären.

Answer 2

Man kann nur Aussagen beweisen. Eine Aussageform kann man nicht beweisen.

Vermutlich geht es um die Aufgabe, die Fläche eines Halbkreises mit dem Radius r   durch Integration zu bestimmen. Dann fehlen allerdings Klammern:  y=√(r²-x²) Nullstellen ±r.

\( \int\limits_{-r}^{+r} \) \( \sqrt{r^2-x^2} \)  Stammfunktion mit Formelsammlung.

Comments

Ja soweit bin ich ja auch schon. Aber ich komme am Ende auf kein Vernünftiges Ergebniss. Müsste da noch theoretisch dann die Volumen Formel einer Kugel als Ergebnis rauskommen?

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Am Ende müsste die Formel für die Fläche eines Halbkreises mit dem Radius r herauskommen

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Also r^2*π÷2 ?

Das bekomme ich nicht raus.

V= 2*π * [2*r-2*x] mit den Grenzen -r und r

Damit habe ich jetzt gerechnet und am Ende kommt dann bei mir 2*π*-4r raus.

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Von welcher Stammfunktion bist du ausgegangen?

Answer 3

Herleitung des Kugelvolumens
Schau einmal meine Antwort hier
https://www.mathelounge.de/637419/ableitung-der-kugelvolumen