Aloha :)
Ein Kreis mit Mittelpunkt \((0|0)\) und Radius \(r\) erfüllt die Koordinantengleichung:$$x^2+y^2=r^2$$Wenn wir uns auf den ersten Quadranten \(x,y\ge0\) beschränken, können wir das als Funktionsgleichung ausdrücken:$$y(x)=\sqrt{r^2-x^2}\quad;\quad x\in[0;r]$$Sie beschreibt einen Viertelkreis mit Radius \(r\).
~plot~ sqrt(3^2-x^2)*(x>=0) ~plot~
Wenn wir diese Funktion um die \(x\)-Achse rotieren lassen, erhalten wir das Volumen einer Halbkugel:$$V_{1/2}=\pi\int\limits_0^ry^2(x)\,dx$$Das Volumen der ganzen Kugel ist doppelt so groß. Wir setzen ein:$$V=2\pi\int\limits_0^r(r^2-x^2)dx=2\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^r=2\pi\cdot\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=2\pi\cdot\frac23r^3=\frac43\pi r^3$$
