Darstellende Matrix und dessen Dimension bestimmen.

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Wir haben die lineare Abbildung: }} \\ {\qquad L : \mathbb{R}_{ \leq 2}[x] \longrightarrow \mathbb{R}_{ \leq 2}[x] ; \quad a x^{2}+b x+c \mapsto b x^{2}+(a-c) x}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text {und die Basis }} \\ {\qquad \mathcal{B}=\left\{x^{2}-x, x+1,-2\right\}}\end{array}$$

$$\text {Bestimme die darstellende Matrix }L_{\mathcal{B}} \text { von } L \text { bezüglich der Basis B. }$$

$$\text {Bestimmen Bild}( L_{\mathcal{B}} ), \operatorname{Bild}(L) \text {und} \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(L))$$

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand sagen wie man diese beiden Aufgaben bearbeiten würde ? Ich will keine Lösungen sondern Ansätze oder vieleicht ein Beispiel.

Answer 1

In der k-ten Spalte der Matrix stehen die Koeffizienten, die

man braucht um das Bild des k-ten Basisvektors wiederum

mit der Basis  darzustellen.   Etwa  k=1:

Bild von x^2 - x ist  L(x^2 -x ) = -x^2 + x

(denn es ist ja in der Def. von L:  a=1, b=-1 und c=0 )

Das Ergebnis -x^2 + x  mit der Basis dargestellt ist

(-1)*(x^2 -x ) + 0*(x+1) +0*(-2) , also sind die

Koeffizienten -1  ;  0   ; 0   und damit die erste

Spalte der Matrix

-1   ?    ? 
0    ?    ?
0    ?    ?

Für die 2. Spalte bekomme ich

L(x+1) = 1*x^2 + 1*x . Darstellung mit der Basis

1*(x^2 -x ) + 2*(x+1) +1*(-2) also hat man

die ersten beiden Spalten

-1    1    ?
0     2     ?
0     1     ?

etc.

Comments

Muss es bei der zweiten Spalte nicht

-1   1    ?

0    0    ?

0    0    ?

heißen ?

Ich hab dann als Endergebnis:

-1   1    0
0    0    2
0    0    1

Was ist denn mit $$\operatorname{Bild}\left(L_{\mathcal{B}}\right), \operatorname{Bild}(L) \text{und} \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(L))$$ ? Wie komme ich darauf ?