Hallo,
offenbar ist \(f(1,-1)=f(-1,1)\), also ist \(f\) nicht injektiv.
Seien nun \(u,v\in\mathbb{C}\) beliebig vorgegeben. Für den Nachweis
der Surjektivität müssen wir ein Paar komplexer Zahlen \((x,y)\) finden,.
so dass \(f(x,y)=(-(x+y),xy)=(u,v)\) ist. Wir suchen also komplexe Zahlen
\(x,y\), so dass \(x+y=-u\) und \(xy=v\) ist.
Dies führt auf die quadratische Gleichung \(x^2+ux+v=0\).
Im Körper der komplexen Zahlen hat jede quadratische Gleichung eine Lösung.
Eine der Lösungen heiße wieder \(x\).
Dann setzen wir \(y=-u-x\).
Mit diesen Werten\(x,y\) gilt nach Konstruktion
\(f(x,y)=(x+(u-x),x(-u-x))=(u,-x^2-ux)=(u,v)\).
Damit ist die Surjektivität gezeigt.
Gruß ermanus
