Basiswechselmatrix aufstellen

Question

Aufgabe:

Sei n eine natürliche Zahl und K ein Körper. Das System B=(1, t-1, (t-1)², (t-1)³.....(t-1)ⁿ) bildet eine Basis von P_n(K) (Vektorraum der Polynome bis zum n-ten Grad) (Dies müssen Sie nicht zeigen)

Sei nun f=∑ⁿ_k=o  a_k t^k ∈ P_n(K). Bestimmen Sie die Vektordarstellung von f bzgl. der Basis B.

Hinweis: für f∈ P_n(K) gilt f=f(1+(t-1)). Verwenden Sie dann den Binomischen Lehrsatz

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht eine Basiswechselmatrix M bezüglich der Standardbasis (1,t,t^2,t³,...,tⁿ) und B aufzustellen, denn dann wäre ja die Vektordarstellung bzgl. B von f gleich dem Produkt aus M und f.

Dafür habe ich die Vektordarstellungen bzgl. B (1)_B=(1,0,...,0), (t)_B=(1,1,0,...,0) und (t²)_B=(1,2,1,0,...,0) bestimmt, weiß aber nun nicht weiter.

Answer 1

Bei Anwendung des Hinweises sieht es so aus:

f = f(1+(t-1)) =$$ \sum \limits_{k=0}^{n}a_{k}(1+(t-1))^k $$

Und für (1+(t-1))^k soll man ja nun den binomischen Satz anwenden,

das gibt $$(1+(t-1))^k= \sum \limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix} k\\i \end{pmatrix}*1^{k-1}*(t-1)^{i}=\sum \limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix} k\\i \end{pmatrix}*(t-1)^{i}$$

Das muss man ja nun in die erste Summe einsetzen und hat

 $$ f = \sum \limits_{k=0}^{n}a_{k}\sum \limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix} k\\i \end{pmatrix}*(t-1)^{i}$$

oder auch

$$ f = \sum \limits_{k=0}^{n}\sum \limits_{i=0}^{k}a_{k}\begin{pmatrix} k\\i \end{pmatrix}*(t-1)^{i}$$

Jetzt ist zu überlegen  welche Summanden zu (t-1)^0 bzw. (t-1)^1 (t-1)^2 etc. gehören.

Dabei geht man am besten rückwärts vor:

(t-1)^n kommt nur einmal vor, nämlich für k=n und i=n, also ist der Faktor

vor dem (t-1)^n  dann ja wohl $$a_{n}\begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix}=a_{n}$$

(t-1)^n kommt zweimal vor, nämlich für

( k=n und i=n-1) und für (k=n-1 und i=n-1), also ist der Faktorvor dem (t-1)^(n-1)  dann ja

 $$a_{n}\begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix}+a_{n-1}\begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix}=a_{n}*n+a_{n-1}$$

und so wird man sich wohl die anderen Faktoren auch raussuchen können.