Satz im Buch:
Es heisst, jede Teilmenge eines Vektorraums V erzeugt einen Untervektorraum von V.
Eigenes Bsp. Sei V = \(\mathbb{R}^3\) ein reeller Vektorraum.
$$ \mathbb{R}^3: = \{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3\ | \quad x,y,z \in \mathbb{R} \quad \} = \{... \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} ...\}. $$
Eine Teilmenge der Menge V ist:
$$ \{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \}. $$
Laut oberstem Satz erzeugt jede, also auch diese Teilmenge einen Untervektorraum von V.
Dieser Satz veranlasst mich gerade nachzuschauen, was diese Teilmenge überhaupt erzeugt.
Also mache ich eine Linearkombination mit diesen Vektoren der erwähnten Teilmenge wie folgt:
$$ ⟨\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} ⟩= \mathbb{R}*\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + \mathbb{R}*\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbb{R}\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\\mathbb{R}\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbb{R}\\\mathbb{R}\\0 \end{pmatrix} = \mathbb{R}^2. $$
(U1) \(\mathbb{R}^2\) ist nicht leer.
(U2) \(\mathbb{R}^2\) ist bezüglich Add. abgeschlossen.
(U3) \(\mathbb{R}^2\) ist bezüglich skal. Multiplikation abgeschlossen.
⇒ \(\mathbb{R}^2\) ist ein Untervektorraum von V.
Da es heisst, dass jede Teilmenge von V einen Untervektorraum bildet,
nehme ich eine weiter Teilmenge von V und schaue analog zu oben ob diese Teilmenge ein Untervektorraum von V bildet.
Eine weiter Teilmenge von V ist die folgende:
$$ \{ \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \}. $$
Da oberster satz sagt, dass jede Teilmenge von V einen Untervektorraum von V bildet schaue ich auch hier nach, was der überhaupt für einen Untervektorraum bildet und mache eine Linearkombination.
$$ ⟨\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}⟩ = \mathbb{R}*\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\\mathbb{R}\\0 \end{pmatrix} = \mathbb{R}. $$
(U1) \(\mathbb{R}\) Ist nicht leer, sie enthält ja sowieso den Vektor ( 0, 1, 0).
(U2) \(\mathbb{R}\) Ist bezüglich Addition abgeschlossen, denn (0,1,0) + (0,3,0) = (0,4,0) = 4*(0,1,0) und das liegt in \(\mathbb{R}\).
(U3) \(\mathbb{R}\) Ist bezüglich sk. Multiplikation abgeschlossen, denn \(\mathbb{R}\)*(0,1,0) ist immer Element von \(\mathbb{R}\).
Fragen (1),(2):
Meist wird erste Bedingnung der Vektorraumaxiome gezeigt, indem gezeigt wird, dass der Nullvektor drin liegt.
Das heisst, dass wenn ich meinen Vektor, den ich durch Linearkombination letzendlich erhalte, also der, der im Grunde \(\mathbb{R}^2\) aufspannt = \(\mathbb{R}\)*(1,1,0) für \(\mathbb{R} = 0\) Null bzw. den Nullvektor ergibt.
Zum Beispiel 0*(1,1,0) = (0,0,0). Analog der Vektor der \(\mathbb{R}\) aufspannt: 0*(0,1,0) = (0,0,0).
(1) Ist das der Grund, wieso die sogenannten affinen Unterräume nicht den Nullvektor enthalten ? Und zeigt man immer mit der Skalarmultiplikation mit Skalar = 0 dass der Nullvektor enthalten ist ?
(2) Ist meine obige Schilderung korrekt ?
