Dreieck: Gleichung des Umkreises,Schwerlinie

Question

Aufgabe:

Gegeben ist Dreieck ABC:

A(-8/-4)

B(6/-4)

C(13/17)

Ich habe Umkreismittelpunkt U(-1/10)

Problem/Ansatz:

Wie kann man die Gleichung des Umkreises und die Gleichung der Schwerlinie Sa berechnen ?

Für die ausführliche Antwort wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Der Radius ist die Länge der Strecken

UA oder UB oder UC. Die sind alle

gleichlang, nämlich √245 =7*√5

Also ist die Kreisgleichung

               (x+1)^2 + (y-10)^2 = 245

Den Schwerpunkt erhältst du durch

S =( A+B+C) / 3 =  ((-8;-4)+(6;-4)+(13;17)) / 3 = (11;9) / 3 =   ( 11/3  ; 3 )

Also ist die Schwerlinie die Gerade durch A und S also

Steigung m = ( ´-4 - 3) / ( -8 - 11/3) = 3/5 = 0,6

und mit y = mx+n bekommst du z.B. für A -4 = (3/5)*(-8)+n

also n=0,8 . Somit   y= 0,6x + 0,8.

sieht so aus:

~draw~ punkt(-8|-4 "A");punkt(6|-4 "B");punkt(13|17 "C");kreis(-1|10 15.7)# ;punkt(3.7|3 "S");gerade(3.7|3 -8|-4);polygon(-8|-4 6|-4 13|17);zoom(25) ~draw~

Comments

Vielen Dank für die Antwort,,

Ich habe eine Frage noch,was kann man tun wenn die UA,UB und UC nicht gleichlang sind?

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Wenn das so ist, dann ist U nicht der Mittelpunkt des Umkreises.

Denn muss man dann neu berechnen:

Es ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten.

Answer 2

Dein Mittelpunkt ist richtig. Man kann ihn natürlich durch eine Skizze ungefähr bestätigen, Aber genau berechnen kann man ihn erst, wenn man die Schwerlinien schon hat.

Die Schwerlinie auf AB ist einfach, da A und B die gleiche y-Koordinate haben, verläuft sie parallel zur y-Achse und hat die Gleichung: \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix} \) +λ·\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \). Für die Schwerlinie auf AC braucht man einen Lotvektor auf \( \vec{AC} \) und den Mittelpunkt von AC. Dann lautet die zweite Schwerlinie \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 5/2\\13/2 \end{pmatrix} \) +μ·\( \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \). Der Schnittpunkt der beiden Schwerlinien ist dann tatsächlich M(-1|10). Der Radius r des Umkreises ist der Betrag z.B.der Vektors \( \vec{MA} \) und die Kreisgleichung lautet dann \( \begin{pmatrix} x+1\\y-10 \end{pmatrix} \)^{^2}= r² .