Schnecke Gummiband "Problem"

Question

Aufgabe:

Am Anfang eines 10m langen Gummibandes sitzt eine Schnecke.
Jeden Tag kriecht sie einen Meter voran. Nachts, wenn sie ruht, dehnt ein
böser Mensch das Band gleichmäßig um 10m aus. (Am Morgen des zweiten
Tages ist das Band also 20m lang und die Schnecke hat 2m geschat.) Erreicht
die Schnecke jemals das Ende des Bandes? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Am ersten Tag erreicht die Schnecke 1/10 der Strecke, über Nacht wird das Gummiband gedehnt. Es wird also einfach mit 2/1 Multipliziert.

Am Zweiten Tag hat die Schnecke 2/20 der Strecke und läuft wieder ein Meter, also 3/20 am Abend. Über Nacht wird das Band wieder um 10 Meter erweitert, also mit 3/2 multipliziert. Am nächsten Tag hat die Schnecke also 4,5/30 der Strecke erreicht und läuft wieder ein Meter also 5,5/30. ...

Da die Strecke sich immer um 10 Meter erweitert kann man hier einfach 10*n als Folge nehmen. n∈ℕ

Für die gelaufenen Meter der Schnecke habe ich leider nur eine rekursive Folge machen können:

a_n=a_n-1*n/(n-1)+1 mit a₁=1

Ab hier weiß ich nicht wie ich irgendwie weiter komme. Ich weiß, dass die Schnecke das Ziel erreicht aber ich weiß nicht wie ich das Zeigen kann. Kann ich aus der rekursiven Folge eine Reihe machen? (Haben gerade das Thema Reihen deshalb würde das zumindest Sinn machen)

Jemand Tipps wie ich hier weiterkommen kann?

Grüße und danke für die Aufmerksamkeit

Answer 1

Eigentlich die Folge

a1 = 1/10

a2 = 2/20 + 1/20 = 3/20

a3 = 4.5/30 + 1/30 = 5.5/30

Was ist die Summe

sn = ∑ (k = 1 bis n) (1/(10·k)) = 1/10·∑ (k = 1 bis n) (1/k)

Die Summe divergiert, wächst über alle Grenzen.

Für n = 12367 ist die Summe über 1 und damit haben wir dann das vollständige Gummiband zurückgelegt. Ich denke aber vorher wird die Schnecke schon ein paar mal gestorben sein.

Comments

Danke für die Antwort, kannst du vielleicht etwas genauer erklären wie du auf die Summe kommst? Ich sehe das nicht so richtig

---

Wenn du den Fortschritt der Schnecke in Bruchteilen  des gesamten Gummibandes misst, ist das von Vorteil, weil das nach nächtlicher Dehnung gleich bleibt. \(1/10, 2/20, 3/30, 4/40 ...\).

Am \(k\)-ten Tag macht die Schnecke also den Fortschritt \(1/10k\) des gesamten Gummibandes (das bleibt konstant).

---

Genau und wenn man 1/10 ausklammert bleibt die Harmonische Reihe übrig. Die wächst über alle Grenzen. Das darf oder sollte man wissen.

---

Hallo Der-Mathecoach

Bei mir steht noch dass sowohl Schnecke als auch Dämon unsterblich sind.

Wie bist du auf n=12367 gekommen?

---

Wie bist du auf n=12367 gekommen?

Man fragt sich für welches n gilt

1/10·∑ (k = 1 bis n) (1/k) = 1

∑ (k = 1 bis n) (1/k) = 10

Dabei könnte man n jetzt mit dem Logarithmus abschätzen. Das war aber in der Aufgabe gar nicht gefragt.