zeigen sie G ist abelsch wenn G eine Gruppe mit neutralem Element e ist und es gilt g*g=e für alle g Element G

Question

Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e . Angenommen es gilt g·g=e für alle g∈G. Zeigen sie: G ist abelsch.

ich weiß, dass eine gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung ist, die zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei die Gruppenaxiome ( Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen) erfüllt.

wieso müssen es genau diese gruppenaxiome sein und zum beispiel nicht das kommutativgesetz? wenn das kommutativgesetz gilt ist es ja abelsch oder?

kann mir das jemand erklären? und vor allem wie gehe ich damit an die Aufgabe heran?

Answer 1

die Wörter kommutativ und abelsch bedeuten genau dasselbe. Das Wort "abelsch" trägt der dem Mathematiker Niels Abel (*) unterstellten Eitelkeit Rechnung. Abel selbst hätte eine Gruppe vermutlich kommuativ genannt. :)

Gilt für alle Elemente einer Gruppe \( g \circ g = e \), das heißt, ist \( g^{-1} = g \) für alle Elemente \( g \) dieser Gruppe, so gilt \( a \circ b = a^{-1} \circ b^{-1} = (b \circ a)^{-1} = b \circ a \).

Letzteres folgt aus \( (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}  \). Dies wiederum erklärt sich aus \( (a \circ b) \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) = e \), was mit dem Assoziativgesetz einleuchtet.

MfG

Mister

PS: (*) https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

Comments

vielen dank aber wieso die letzten 2 zeilen auseinander folgen leuchtet mir nicht ein...

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Das Assoziativgesetz gebietet

\( (a \circ b) \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) = e \),

das aber heißt, dass \( (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \) ist.

Das Inverse ist aber eindeutig wegen

\( a^{-1}_1 = ( a^{-1}_2 \circ a ) \circ a^{-1}_1 = a^{-1}_2 \circ (a \circ a^{-1}_1) = a^{-1}_2 \).

Zwei Inverse \( a^{-1}_1 \) und \( a^{-1}_2 \) von \( a \) stimmen also stets überein, sodass es mit anderen Worten nur ein Inverses von \( a \) gibt.

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Ich verstehe nicht. Wieso ist:

a^{-1} * b^{-1} = (b*a)^{-1} ?

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Steht doch da.

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Bin zwar nicht der Fragesteller und ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber kannst du vielleicht nochmal erklären inwiefern, dass das Assoziativgesetz gebietet. Inwiefern wurde a · (b · c) = (a · b) · c angewendet?

"Das Assoziativgesetz gebietet

(a∘b)∘(b⁻¹∘a⁻¹)=e"

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Es gilt

$$(a∘b)∘(b^{−1}∘a^{−1}) = a∘(b∘b^{−1})∘a^{−1}=a∘a^{−1}=e$$

Im ersten Schritt wurde direkt das Assoziativgesetz angewendet.

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Die Antwort hat EmNero bereits geduldig vorweggenommen.

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besten Dank, jetzt hab ich es verstanden.