Eigenwert - Beweisaufgabe

Question

Aufgabe:

Seien n ∈ N≥1, K ein Körper und A ∈ Mn(K) und λ ∈ K ein Eigenwert von A. Beweisen Sie:
(a) Wenn λ = 0 gilt, folgt det(A) = 0; die Umkehrung dieser Implikation ist i. A. falsch.
(b) Ist A invertierbar, so ist 1/λ ein Eigenwert von A^-1

Ich weiß nicht wie ich hier rangehen soll, kann jemand weiterhelfen? Ich wäre froh über jede hilfreiche Antwort, danke.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Aussagen zu Eigenwerten beweisen

Stichworte: eigenwerte

Huhu,

ich verzweifle an dieser Aufgabe:

Seien n ∈N ≥1, K ein Körper und A ∈ M_n(K) und λ ∈ K ein Eigenwert von A. Beweisen Sie:

(a) Wenn λ = 0 gilt, folgt det(A) = 0; die Umkehrung dieser Implikation ist i.A. falsch.

(b) Ist A invertierbar, so ist 1/λ ein Eigenwert von A−1.

Könnte mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Wenn zu einer Matrix \(A\in M_n(K)\) ein Eigenwert \(\lambda=0\) existiert, dann gibt es einen Eigenvektor \(\vec x_\lambda\ne\vec0\) mit \(A\cdot\vec x_\lambda=\lambda\cdot\vec x_\lambda=0\cdot\vec x_\lambda=\vec 0\). Da die Determinante einer Transformationsmatrix \(A\) angibt, um welchen Faktor sich das "Volumen" des transformierten Objektes verändert (hier ändert sich die Länge von \(\vec x_\lambda\) auf \(0\)), muss \(\text{det}\,A=0\) gelten. Wenn du noch zeigen möchtest, dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt, würde ich einfach ein passendes Beispiel bringen.

Wenn \(A\) invertierbar ist und einen Eigenwert \(\lambda\ne0\) hat, kann man ausgehend von der Eigenwertgleichung \(A\cdot\vec x_\lambda=\lambda\cdot\vec x_\lambda\) beide Seiten der Gleichung von links mit \(A^ {-1}\) multiplizieren und wie folgt umformen: $$\underbrace{A^{-1}\cdot A}_{=1}\cdot\vec x_\lambda=\lambda\cdot A^{-1}\cdot\vec x_\lambda\quad\Leftrightarrow\quad\vec x_\lambda=\lambda\cdot A^{-1}\cdot\vec x_\lambda\quad\Leftrightarrow\quad A^{-1}\cdot\vec x_\lambda=\frac{1}{\lambda}\cdot\vec x_\lambda$$ Also ist \(\frac{1}{\lambda}\) Eigenwert von \(A^{-1}\).

Answer 2

hallo

a) Eigenwerte  werden durch det(A−λE)=0 bestimmt. was wenn λ=0?

b) multipliziere A*x=λ*x von links auf beiden Seiten mit A ^-1  und verwende

A^-1*A*x=x

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für den Ansatz :)