Integral (2*coth(t))/(1-cosh(2t))

Question

Aufgabe:

Ich stehe vor folgendem Integral:

$$F(x) = \int_{1}^{x} \frac{2 \cdot \coth{(t)}}{1-cosh{(2 \cdot t)} dt}  (x \in I := (0|\infty))$$

Problem/Ansatz:

Ich weiss nur das man hier den Ansatz für die Substitution mit $$e^t = y$$ hier wählen.

Dann komme ich aber auf folgendes Integral mit folgenden Ansatz für die Partialbruchzerlegung:

$$-4 \cdot \int_{e}^{e^x} \frac{(y^2+1) \cdot y^3}{(y^2+1)^2\cdot(y^2-1)} = -4 \cdot \int_{e}^{e^x} \frac{y^3}{(y^2+1)(y^2-1)} dy$$

Jetzt weiss ich nicht ob das richtig ist.

und Hoffe das mir jemand bei der Bestimmung der Grenzen behilflig sein kann.

$$\lim_{x\to 0} F(x)$$ und $$\lim_{x\to\infty} f(x)$$

Answer 1

cosh(2t)=1+ 2 sinh^2(t)

Substutiere:

z=coth(t)

dz/dt= (-1)/(sinh^2(t)

dt= -sinh^2(t) dz

eingesetzt in den Integranden:

= ∫ z dz

=z^2/2 +c

=coth^2(t)/2 +C

Comments

Ich sehe da leider noch nichts einfaches.

Vielleicht kannst du ja mal deinen Lösungsweg hier zeigen.

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siehe oben.............................

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mit dem Ansatz, den Ihr nehmen sollt:

Answer 2

Wenn du den Faktor 4 mit ins Integral ziehst, steht im Zähler die Ableitung des Nenners.

In so einem Fall hat eine Stammfunktion die Form F(x)=ln(Nenner).

(Ob deine Umformung bis dahin richtig war habe ich nicht geprüft.)

Answer 3

2·COTH(t) / (1 - COSH(2·t))

mit Subst y = e^t komme ich auf

4·y^2·(y^2 + 1) / ((y + 1)^3·(1 - y)^3)

oder auf eine Partialbruchzerlegung von

= - 1/(y - 1)^3 - 3/(2·(y - 1)^2) - 1/(2·(y - 1)) + 1/(y + 1)^3 - 3/(2·(y + 1)^2) + 1/(2·(y + 1))

Comments

Hilft nur leider nichts ohne den Rechenweg, aber danke für deine Mühe trotzdem

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Du hast ja auch kein Rechenweg angeführt. Wenn du das gemacht hättest, dann hätte man dich vermutlich auf Fehler hinweisen können.

Ansonsten gibt es genug Rechenknechte wie Wolframalpha die auch einen Rechenweg liefern.

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Ich kann das verstehen das das lösen des Integrals mit dieser Substitution Zeit in Anspruch nimmt aus diesem Grund habe ich das auf das wesentliche reduziert.

Anhand vom Ansatz für die Partialbruchzerlegung hätte man schon vieles sehen können und gegebenenfalls dort schon auf mögliche Fehler hinweisen können.

Das mit Wolfram Alpha wollte ich jetzt nicht erwähnen aber genau aus dem Grund habe ich auf Wolfram Alpha verzichtet, weil die Integralrechner meist eine ganz andere Substitution in betracht ziehen.

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Es liegt an dir für t einfach ln(y) einzusetzen. Dann weiß Wolfram schon was du willst.