Konvergenz einer Folge gegen e zeigen

Question

Aufgabe:

$$ \lim\limits_{n\to\infty}  \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}  =e $$

Problem/Ansatz:

Ich komme mit der Aufgabe vorne und hinten nicht weiter, ich weiß nicht wie ich hier herangehen kann und finde irgendwie auch nichts hilfreiches in meinem Skript. Habt ihr denkanstöße?

Grüße

Answer 1

Sei \(a_n:=\frac{n^n}{n!}\), dann gilt (wie in Blatt 06) bewiesen, für alle \((a_n)_n \subset \mathbb{R}\) mit \(a_n>0\) und für alle \(n\in \mathbb{N}\):$$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}\leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n} \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ Hierbei ist \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) und \(\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{a_n}=\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\).

Comments

Danke für deine Antwort,

\( \sqrt[n]{a_n} \)  kann ich mir eigentlich auch sparen oder?

Man weiß ja dass die Folge (1+\( \frac{1}{n} \) )ⁿ konvergiert also ist lim inf = lim sup

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Am Ende steht dort:$$e\longleftarrow \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\longrightarrow e$$ Dann hast du \(\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\) "eingekesselt"!

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Ist es möglich die 2d mit der gleichen Methode zu lösen?

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ich vermute schon. Mit \(a_n:=n!\), dann haben wir \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!(n+1)}{n!}=n+1\) und das divergiert ja offensichtlich.

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So hatte ich es mir auch überlegt, vielleicht findet man eine andere, leicht elegantere Methode. Diese scheint mir etwas zu plump.

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Beim Fürsten war ich oft zu Gast und bei der Hautevolee, erwähnte ich mein Lieblingswort, so bat man mich zum Tee.

Wie der kleine Gauß:$$(n!)^2 = (1 \cdot n) (2 \cdot (n-1)) (3 \cdot (n-2)) \cdots((n-2) \cdot 3) ((n-1) \cdot 2) (n \cdot 1) \ge n^n$$ Dann ist \(\sqrt[n]{n!} \ge \sqrt{n} \to \infty\)

Aber was ist gegen die andere Methode auszusetzen?

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Gegen die Methode ist nichts auszusetzen, wollte nur noch weitere sehen.

Answer 2

kommt immer drauf an, was ihr schon gezeigt habt. Mit Stirlings Approximation ist der Grenzwert leicht gezeigt.

Ansonsten:

Betrachte den Grenzwert von ln(a_n).