Was ist der Konvergenzbereich/-radius der Taylorreihe?

Question

Aufgabe:

$$g(x)=\frac{e^{x}}{1+4 x^{2}}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt 0 bis zur 3. Potenz bestimmen müssen von g(x). Dabei kam heraus: \( =1+x-\frac{7}{2} x^{2}-\frac{23}{6} x^{3} \ldots \)

Jetzt hab ich leider Probleme den Konvergenzbereich zu bestimmen. Mir ist die Formel hierfür bekannt jedoch weiß ich nicht welche Werte ich hier einsetzen muss. Welche Werte muss ich hier einfügen und wie berechnet sich das?

Formel: \( =\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \)

Falls das nicht die richtige Formel ist, bitte eine andere vorschlagen :)

PS: Die Lösung ist mir schon gegeben: -1/2 < x < 1/2

Comments

Wie sieht deine Reihe denn aus?

Und so wie du das Quotientenkriterium aufgeschrieben hast, ist falsch. Es so muss rum heißen:

$$ \lim_{n\to \infty} \Bigg |\frac{a_{n+1}}{a_n} \Bigg |$$

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Vielleicht \(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{g^{(n)}(0)}{n!}}x^n\)?

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Ja schon ;)

Aber was ist denn g⁽ⁿ⁾(0) für alle n∈ℕ ?

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Das ist die Frage.

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Ja, der Zähler sieht nicht schön aus, aber man kann dennoch darauf kommen diese zu berechnen.

Stichwort: Koeffizientenvergleich.

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Dann hau mal raus!

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Mit Faà di Bruno und über vollständige Induktion lässt sich folgender Zusammenhang beweisen:$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{(n)}=\frac{1}{g(x)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n+1}{k+1}\frac{\left(f(x)g^{k}(x)\right)^{(n)}}{g^{k}(x)}$$ Hochinteressant, dass man das so "leicht" ausdrücken kann.

Answer 1

Hallo

die Reihe für 1/(1+4x^2)=1/(1-(-(2x)^2)) kannst du als geometrische Reihe hinschreiben, und  die Konvergenz sehen, die für e^x mit der multipliziert wird konvergiert für alle x, also kommt es nur auf die für 1/(1+4x^2) an, und das ist (2x)^2<1

Gruß lul

Comments

Ist es tatsächlich so einfach?

Answer 2

Ich meine es so:
$$ \frac{e^x}{1+4\cdot x^2} \stackrel{!}{=} \sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k\\[30pt] \Leftrightarrow e^x=(1+4\cdot x^2)\cdot \Bigg( \sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k \Bigg)=\Bigg(\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k \Bigg)+\Bigg(\sum_{k=0}^\infty 4\cdot a_k\cdot x^{k+2}\Bigg)\\[30pt] \Leftrightarrow \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot x^{k}=\Bigg(\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k \Bigg)+\Bigg(\sum_{k=0}^\infty 4\cdot a_k\cdot x^{k+2}\Bigg) \\[30pt] \Leftrightarrow \sum_{k=-2}^\infty \frac{1}{(k+2)!}\cdot x^{k+2}=\Bigg(\sum_{k=-2}^\infty a_{k+2}\cdot x^{k+2} \Bigg)+\Bigg(\sum_{k=0}^\infty 4\cdot a_k\cdot x^{k+2}\Bigg) \\[30pt] \Leftrightarrow \Bigg (\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+2)!}\cdot x^{k+2}\Bigg ) + 1\cdot x^0+1\cdot x^1\\=\Bigg(\sum_{k=0}^\infty a_{k+2}\cdot x^{k+2} \Bigg)+\Bigg(\sum_{k=0}^\infty 4\cdot a_k\cdot x^{k+2}\Bigg)+a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1$$

Koeffizientenvergleich liefert :

$$ a_0=1, \ \ a_1=1$$

$$ \frac{1}{(k+2)!}=a_{k+2}+4\cdot a_k \Leftrightarrow a_{k+2}=\frac{1-4\cdot (k+2)!\cdot a_k}{(k+2)!}$$