Hallo
leider kriege ich diese Aufgabe nicht hin und würde mich über jede Hilfe freuen.
Aufgabe:
Berechnen Sie mit Hilfe inverserser Fourier - Transformation und der Beziehung ~f´(x) = i*k* ~f(k) das Integral :
I = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t*sin(bt)}{a²+t²} \) dt
Hinweis : ~f(k) = \( \frac{2a}{a²+k²} \) ist die Fourier Transformierte zu f(x) = e^(-a*|x|)
Problem/Ansatz:
Fourier Transformation :
~f(k) = \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f(x) * e(-ikx) dx
Inverse Fourier Transformation :
f(x) = \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) ~f(k) * e(ikx) dk
\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t*sin(bt)}{a²+t²} \) dt = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t}{a²+t²} \)* \( \frac{e^{ibt}-e^{-ibt}}{2i} \) dt = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t}{a²+t²} \)* \( \frac{e^{ibt}}{2i} \) dt - \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t}{a²+t²} \)* \( \frac{e^{-ibt}}{2i} \) dt =1/(2i) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t}{a²+t²} \)* e^{ibt} dt - 1/(2i)\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t}{a²+t²} \)* e^{-ibt} dt = 1/(4ia) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{2a}{a²+t²} \)*t* e^{ibt} dt - 1/(2i)\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t}{a²+t²} \)* e^{-ibt} dt = 1/(4ia) * e^(-a*|x|) *t - 1/(2i)\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{t}{a²+t²} \)* e^{-ibt} dt
Jetzt wüsste ich allerdings nicht mehr weiter.
LIebe Grüße Hans
PS : Tut mir Leid dass sich die Darstellung der zB e-fkt ändert aber die Vorschau hat nichts mehr "hoch genommen " .
