Wie funktioniert dieser Beweis?

Question

Aufgabe:

Seien A=L1 R1 und A=L2 R2 zwei LR-Zerlegungen von A. Dann gilt:

L2 R2 = L1 R1

Aufgrund der Regularität von A folgt dann:

R2 (R1)^-1=(L2)^-1 L1


Damit folgt wegen der Gestalt (L ist normiert), dass gelten muss:

(L2)^-1 L1 = I = R 2 (R1)^-1

Somit folgt:

L1=L2, R1=R2

Und die Zerlegung ist Eindeutig.

Problem/Ansatz:

Ich versuche momentan diesen Beweis zu verstehen. Jedoch scheitert es schon an der Folgerung aus der Regularität. Könnte mir jemand den Beweis bzw. die Folgerungen kleinschrittig erklären. Das wäre mir eine sehr große Hilfe!

Answer 1

Nach der Rangungleichung von Sylvester

        Rang (A·B) ≤ min({Rang (A), Rang (B)})

sind L und R invertierbar, wenn A = L·R invertierbar ist.

\(\begin{aligned} L_{2}R_{2} & =L_{1}R_{1} &  & |\,L_{2}^{-1}\cdot\\ L_{2}^{-1}\cdot\left(L_{2}R_{2}\right) & =L_{2}^{-1}\cdot\left(L_{1}R_{1}\right) &  & \text{Assoziativgesetz}\\ \left(L_{2}^{-1}L_{2}\right)\cdot R_{2} & =\left(L_{2}^{-1}L_{1}\right)\cdot R_{1} &  & \text{Def. inverse Matrix}\\ I\cdot R_{2} & =\left(L_{2}^{-1}L_{1}\right)\cdot R_{1} &  & \text{Neutralität der Einheitsmatrix }I\\ R_{2} & =\left(L_{2}^{-1}L_{1}\right)\cdot R_{1} &  & |\,\cdot R_{1}^{-1}\\ R_{2}\cdot R_{1}^{-1} & =\left(\left(L_{2}^{-1}L_{1}\right)\cdot R_{1}\right)\cdot R_{1}^{-1} &  & \text{Assoziativgesetz}\\ R_{2}\cdot R_{1}^{-1} & =\left(L_{2}^{-1}L_{1}\right)\cdot\left(R_{1}\cdot R_{1}^{-1}\right) &  & \text{Def. inverse Matrix}\\ R_{2}\cdot R_{1}^{-1} & =\left(L_{2}^{-1}L_{1}\right)\cdot I &  & \text{Neutralität der Einheitsmatrix }I\\ R_{2}\cdot R_{1}^{-1} & =L_{2}^{-1}L_{1} &  & \text{Symmetrie von }=\\ L_{2}^{-1}L_{1} &= R_{2}\cdot R_{1}^{-1} \end{aligned}\)

(L2)^-1 L1 = I = R 2 (R1)^-1

Das Inverse einer linken unteren Dreiecksmatrix ist eine linke untere Dreiecksmatrix.

Das Produkt zweier linker unterer Dreiecksmatrizen ist eine linke untere Dreiecksmatrix.

Also ist L₂^-1·L₁ eine linke untere Dreiecksmatrix.

Vergleichbares gilt für rechte obere Dreiecksmatrizen. Also ist R₂·R₁^-1 eine rechte obere Dreiecksmatrix.

Wegen L₂^-1·L₁  = R₂·R₁^-1 ist L₂^-1·L₁ demnach sowohl eine linke untere Dreiecksmatrix, als auch eine rechte obere Dreiecksmatrix. Das kann nur sein, wenn L₂^-1·L₁ eine Diagonalmatrix ist. Wegen der Normiertheit ist L₂^-1·L₁ die Einheitsmatrix. Also ist L₂^-1 = L₁^-1 wegen der Eindeutigkeit der Inversen. Dann muss aber L₁ = L₂ und analog dazu R₁ = R₂ sein.