Aufgabe:
Im Rahmen einer Klausur wird nach dem Verfahren „multiple choice“ geprüft. Dazu müssendie Studierenden acht Fragen beantworten. Bei jeder Frage stehen sechs Antworten zur Auswahl,von denen genau eine richtig ist und fünf Antworten falsch sind. Ein Studierender musssich für genau eine Antwort entscheiden. Wird bei einer Frage keine Antwort angekreuzt, sogilt die Frage als falsch beantwortet. Die Prüfung ist bestanden, wenn mindestens sechs deracht Fragen richtig beantwortet werden.a) Der Studierende A hat nicht gelernt. Er beantwortet alle Fragen, in dem er jeweils eineder sechs Antworten mithilfe eines Würfel auswählt: die Augenzahl bestimmt die Nummerder Antwort. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Studierende die Prüfungbesteht.b) Der Studierende B hat schon fünf Fragen mit seinem Wissen richtig beantwortet. Mitwelcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung dennoch nicht, wenn er die restlichendrei Fragen wie der Studierende A in Teilaufgabe a) mithilfe eines Würfels zufällig beantwortet?c) Der Prüfer stellt sich die folgende Frage: Wären es statt acht Fragen 80 Fragen mit jeweilssechs Antworten und würden diese wie von dem Studierenden A mithilfe einesWürfels beantwortet, wie gut wäre diese Strategie? Beantworten Sie dazu die folgendenFragen näherungsweise.1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit maximal 20 der 80 Fragen richtig zu beantworten?2. Der Prüfer geht davon aus, dass zum Bestehen der Prüfung mindestens 60 der 80 Fragenrichtig zu beantworten sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Prüfungdurch „Würfeln“ zu bestehen?
Problem/Ansatz:
Binomialverteilung
Zu a):Ich glaube es ist in der Tat egal, ob er mit einem Würfel entscheidet oder selbst: Er hat ja so oder so keine Ahnung :').$$P(X\geq 6)=\begin{pmatrix} 8\\ k \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n-k}$$Beim Rest vielleicht etwas Eigen-Engagment!
Vielen Dank. war auch mein Ansatz. Danke für die Bestätigung!!! :)
a)
n=8, p=1/6, k >= 6 ergibt ca. 0.044%
b)
n=3, p=1/6, k=0 ergibt ca. 57.9%
Alternativ mit (5/6)3
c)
1) n=80, p=1/6, k<=20 ergibt ca. 98%
2) n=80, p=1/6, k>=60 ergibt ca. 2.019*10-28 %
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Könntest du mir evtl den Rechenweg zu a) aufzeigen
wäre super
Ich denke die Ergebnisse sind alle richtig auch wenn die letzte Antwort verkehrt gerundet worden ist. Aber dann hat der Fragesteller schon mal Kontrollergebnisse.
Rechenweg ist die Binomialverteilung und die hat racine_carrée schon richtig dir als Formel mitgeteilt.
@Richie hat racine schon gemacht.
@Mathecoach stimmt, danke.
Ich steh bei der a) auf dem Schlauch. Muss ich für nur die 6 einsetzen. Dann kommt da 0,00042 also 0,042% raus?
Grüße
Richie
Nein, du setzt für k die Werte aus der Menge \(\{6,...,8\},\; k \in \mathbb{Z}\) ein.
Also P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)
Super ! hat funktioniert. Der Rest müsste klar sein.
Vielen Dank nochmal!! Hast mir sehr geholfen.
RIchard
Habe nun alles berechnet außer die c) 2. Da habe ich die Transformation gemacht aber der Wert ist nicht in der Normalverteilung vorhanden. Kann man dort nicht einfach das 10 fache von der 2a) nehmen?
Richard
Wenn du mit der Normalverteilung c2) ausrechnest ist es normal das du auf 0% kommst.
Du braucht den genauen Wert hier auch nicht berechnen. Das haben wir nur vereinfacht zur Kontrolle gemacht.
ok. Aber wie ist er den zur Lösung gekommen, weil ja nach der Wahrscheinlichkeit gefragt wird.
Mit \(\displaystyle\sum\limits_{i=60}^{80}\displaystyle\binom{80}{i}\cdot \left( \dfrac{1}{6}\right)^i\cdot \left( \dfrac{5}{6}\right)^{80-i}\)
Oder über die Approximation mit der NV ohne Stetigkeitskorrektur \(1-\left(\dfrac{\mathrm{erfc}\,\! \left(-7 \sqrt{2}\right)}{2}\right)\approx 7.79\cdot 10^{-43}\%\)
Er hat wie ich auch direkt mit der Binomialverteilung gerechnet. Damit rechnest du ja exakt.
achso. Ok vielen Dank!!! :)
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