Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Studierende die Prüfung besteht.

Question

Aufgabe:

Im Rahmen einer Klausur wird nach dem Verfahren „multiple choice“ geprüft. Dazu müssen
die Studierenden acht Fragen beantworten. Bei jeder Frage stehen sechs Antworten zur Auswahl,
von denen genau eine richtig ist und fünf Antworten falsch sind. Ein Studierender muss
sich für genau eine Antwort entscheiden. Wird bei einer Frage keine Antwort angekreuzt, so
gilt die Frage als falsch beantwortet. Die Prüfung ist bestanden, wenn mindestens sechs der
acht Fragen richtig beantwortet werden.
a) Der Studierende A hat nicht gelernt. Er beantwortet alle Fragen, in dem er jeweils eine
der sechs Antworten mithilfe eines Würfel auswählt: die Augenzahl bestimmt die Nummer
der Antwort. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Studierende die Prüfung
besteht.
b) Der Studierende B hat schon fünf Fragen mit seinem Wissen richtig beantwortet. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung dennoch nicht, wenn er die restlichen
drei Fragen wie der Studierende A in Teilaufgabe a) mithilfe eines Würfels zufällig beantwortet?
c) Der Prüfer stellt sich die folgende Frage: Wären es statt acht Fragen 80 Fragen mit jeweils
sechs Antworten und würden diese wie von dem Studierenden A mithilfe eines
Würfels beantwortet, wie gut wäre diese Strategie? Beantworten Sie dazu die folgenden
Fragen näherungsweise.
1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit maximal 20 der 80 Fragen richtig zu beantworten?
2. Der Prüfer geht davon aus, dass zum Bestehen der Prüfung mindestens 60 der 80 Fragen
richtig zu beantworten sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Prüfung
durch „Würfeln“ zu bestehen?

Problem/Ansatz:

Binomialverteilung

Comments

Zu a):
Ich glaube es ist in der Tat egal, ob er mit einem Würfel entscheidet oder selbst: Er hat ja so oder so keine Ahnung :').$$P(X\geq 6)=\begin{pmatrix} 8\\ k \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^k\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n-k}$$
Beim Rest vielleicht etwas Eigen-Engagment!

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Vielen Dank. war auch mein Ansatz. Danke für die Bestätigung!!! :)

Answer 1

a)

n=8, p=1/6, k >= 6 ergibt ca. 0.044%

b)

n=3, p=1/6, k=0 ergibt ca. 57.9%

Alternativ mit (5/6)³

c)

1) n=80, p=1/6, k<=20 ergibt ca. 98%

2) n=80, p=1/6, k>=60 ergibt ca. 2.019*10^-28 %

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Könntest du mir evtl den Rechenweg zu a) aufzeigen

wäre super

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Ich denke die Ergebnisse sind alle richtig auch wenn die letzte Antwort verkehrt gerundet worden ist. Aber dann hat der Fragesteller schon mal Kontrollergebnisse.

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Könntest du mir evtl den Rechenweg zu a) aufzeigen

Rechenweg ist die Binomialverteilung und die hat racine_carrée schon richtig dir als Formel mitgeteilt.

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@Richie hat racine schon gemacht.

@Mathecoach stimmt, danke.

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Ich steh bei der a) auf dem Schlauch. Muss ich für nur die 6 einsetzen. Dann kommt da 0,00042 also 0,042% raus?

Grüße

Richie

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Nein, du setzt für k die Werte aus der Menge \(\{6,...,8\},\; k \in \mathbb{Z}\) ein.

Also P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

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Super ! hat funktioniert. Der Rest müsste klar sein.

Vielen Dank nochmal!! Hast mir sehr geholfen.

RIchard

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Habe nun alles berechnet außer die c) 2. Da habe ich die Transformation gemacht aber der Wert ist nicht in der Normalverteilung vorhanden. Kann man dort nicht einfach das 10 fache von der 2a) nehmen?

Richard

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Wenn du mit der Normalverteilung c2) ausrechnest ist es normal das du auf 0% kommst.

Du braucht den genauen Wert hier auch nicht berechnen. Das haben wir nur vereinfacht zur Kontrolle gemacht.

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ok. Aber wie ist er den zur Lösung gekommen, weil ja nach der Wahrscheinlichkeit gefragt wird.

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Mit \(\displaystyle\sum\limits_{i=60}^{80}\displaystyle\binom{80}{i}\cdot \left( \dfrac{1}{6}\right)^i\cdot \left( \dfrac{5}{6}\right)^{80-i}\)

Oder über die Approximation mit der NV ohne Stetigkeitskorrektur \(1-\left(\dfrac{\mathrm{erfc}\,\! \left(-7 \sqrt{2}\right)}{2}\right)\approx 7.79\cdot 10^{-43}\%\)

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Er hat wie ich auch direkt mit der Binomialverteilung gerechnet. Damit rechnest du ja exakt.

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achso. Ok vielen Dank!!! :)