Determinate berechnen

Question

ihr Lieben :)

Ich habe wieder ein Problem mit Determinanten. Diesmal soll ich folgende Determinante berechnen:

$$\left|\begin{array}{c}a & b & c & d\\-b & a & -d & c\\-c & d & a & -b\\-d & -c & b & a\end{array}\right|=\cdots$$

Wie berechnet man so was am effizientesten?
im VorausPatty

Answer 1

Aloha :)

Schau dir die Matrix mal genau an, auf der Hauptdiagonalen ist immer \(a\) und bis auf die Vorzeichen, ist sie symmetrisch. Daher kannst du hier (wahrscheinlich) ausnutzen, dass \(\det(A) = \det(A^T)\) bzw. \(\det(AA^T) = \det(A)\cdot\det(A^T)={\det}^2(A)\).

$$\left(\begin{array}{c}a & b & c & d\\-b & a & -d & c\\-c & d & a & -b\\-d & -c & b & a\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a & -b & -c & -d\\b & a & d & -c\\c & -d & a & b\\d & c & -b & a\end{array}\right)=$$$$\begin{array}{c}a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 & 0 & 0\\0 & a^2+b^2+c^2+d^2 & 0  & 0 \\0 & 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 \\0 & 0 & 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 \end{array}$$$$\Rightarrow{\det}^2(A)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^4$$

Comments

Sehr schöne Lösung!  Daumen von mir.

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Vielen Dank für die super Antwort... \o/

Hieraus lerne ich vor allem, dass man sich die Aufgabenstellung genau ansehen muss. Manchmal steckt darin offenbar schon der Weg zu einer effizienten Lösung.

Answer 2

Tja. Also ich würde es wohl nach der ersten Zeile entwickeln und die Unterdeterminanten mit der Regel von Sarrus berechnen.

Es gibt ja auch nicht so viele andere Möglichkeiten was man machen kann oder?

Am einfachsten geht es noch mit einem Rechner

DET([a, b, c, d; -b, a, -d, c; -c, d, a, -b; -d, -c, b, a]) = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2

Comments

Danke Coach für deine schnelle Antwort :)

Ich möchte das zum Üben gerne ohne Taschenrechner ausrechnen. Aber jetzt habe ich zumindest schon mal das Ergebnis zum Vergleichen.

Vielleicht hat ja noch jemand eine Idee?