Erstmal eine Partialbruchzerlegung mit \(\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}\) als Ansatz.
Multipliziere mit dem Hauptnenner \(n(n+2)\) und erhalte:$$1=A(n+2)+Bn$$Setze nun die Nullstellen in die Gleichung ein, also "\(n=-2\)", dann hast du:$$(i) \quad \quad 1=-2B \Rightarrow B=-\frac{1}{2}$$ Und nun "\(n=0\)":$$(ii) \quad \quad 1=2A \Rightarrow A=\frac{1}{2}$$. Du hast also:$$S_n=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{1}{n(n+2)}=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+2)}$$ Schreibe die Summe auf und erkenne die Teleskopsumme:$$S_n=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{12}\right) +\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{14}\right)+\cdots$$ Alles "löscht" sich gegenseitig. Es bleibt lediglich \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) übrig. Also $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+2)}}=0.75$$
