Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe SUMME (1 / (n (n+2))?

Question

Gesucht ist der Grenzwert.  Hab ich den richtig bestimmt? Muss morgen meine Hausaufgaben abgeben

Answer 1

 Erstmal eine Partialbruchzerlegung mit $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}$ als Ansatz.

 Multipliziere mit dem Hauptnenner $n(n+2)$ und erhalte:$$1=A(n+2)+Bn$$Setze nun die Nullstellen in die Gleichung ein, also "$n=-2$", dann hast du:$$(i) \quad \quad 1=-2B \Rightarrow B=-\frac{1}{2}$$ Und nun "$n=0$":$$(ii) \quad \quad 1=2A \Rightarrow A=\frac{1}{2}$$. Du hast also:$$S_n=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{1}{n(n+2)}=\sum_{n=1}^{\infty}{}\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+2)}$$ Schreibe die Summe auf und erkenne die Teleskopsumme:$$S_n=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{12}\right) +\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{14}\right)+\cdots$$ Alles "löscht" sich gegenseitig. Es bleibt lediglich $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ übrig. Also $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+2)}}=0.75$$

Comments

Super, danke für die hilfe

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Gerne! :) LG

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Könntest du mir vielleicht auch nich sagen ob der Grenzwert der Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^n+5^n}{7hoch(n-2)}}$ =0 ist?

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Nein, es ist 240.1

Guck mal hier.

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@Gustav1998

Dass deine Version nicht sein kann, hättest du selbst merken müssen. Alle Summanden sind positiv - wie soll da eine Summe von 0 herauskommen?