Abbildungsmatrix vom ℝ^(2*2) in den ℝ^(2*2)

Question

Aufgabe:

$$ φ: \mathbb{R}^{2*2}\rightarrow \mathbb{R}^{2*2}; A \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} *A $$

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M_B,B(φ)∈R^4×4 von φ bzgl. der Standardbasis

$$ B=\left\{ { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } \right\} $$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau, was ich hier machen soll. Bisher habe ich nur Abbildungsmatrizen vom ℝⁿ in den ℝ^m gehabt. Jedoch keine in den Matrizenräumen. Vor allem verwirrt mich, dass es sich dabei um eine 4*4-Matrix handeln soll.

Comments

Dass es sich um eine wohldefinierte Abbildung handelt siehst du ein, indem du die Matrixmultiplikation als Abbildung siehst:

$$\mathbb{R}^{2 \times 2} \times \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2}$$

Somit hast du (nicht ganz korrekte Notation, aber der Anschauung halber):

$$\mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2} \times A \to \mathbb{R}^{2 \times 2} \times \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2}$$

Nein, es handelt sich dabei nicht um eine 4x4-Matrix. Du musst dir das eher so vorstellen, dass durch alle Linearkombinationen von B der kompllte R^(4x4) aufgespannt wird. Genauso wie du Abbildungen von R^n nach R^m dadurch, worauf die Einheitsvektoren abgebildet werden, charakterisieren kannst, kannst du diese Abbildungen beschreiben, indem du schaust worauf die "Basismatrizen" abgebildet werden.

Answer 1

In i-ten Spalte der Abbildungsmatrix stehen die Faktoren, die man braucht, um das Bild des

i-ten Basisvektors mit der gegebenen Basis darzustellen.

Du hast 4 "Basisvektoren" also in jeder Spalte 4 Zahlen und du hast

4 Bilder, also auch 4 Spalten.

Die erste Spalte erhältst du so:

$$ φ\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$$$= 3*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}  +0*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}   +2*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}    +0*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Also ist die erste Spalte der Abb.matrix

3
0
2
0

Die anderen 3 entsprechend.